ベクトル

まずは図をきれいに描く！　図を描く習慣をつけよう。 図から図形の特徴をつかむことが，解法選択の出発点。

そのうえで，使える解法は次の4つ。 ① まずは幾何！　（数学Ⅰの三角比と，主に数学Aの図形の知識）

 ・三角比 直角三角形の三角比・正弦定理・余弦定理

 ・相似・合同 意外と気づきにくいので頭の引き出しの手前に！

 ・図形の性質 チェバ・メネラウス，方べきの定理，中線定理，接弦定理 など

② 座標設定（図形と方程式（数Ⅱ）へ）

③ ベクトル（平面はもちろん，四面体や平行六面体など特に空間に強い）

④ 複素数平面（回転絡み）（履修者のみ）

まずは①幾何を考え，見通しが立たなければ②〜④を選択しよう！

① 幾何 多少発想や経験値が必要。手順が一定でない代わりに，ハマれば計算量が一気に減る。三角形が鋭角か鈍角か，そもそも三角形が成り立つかで式が変わる場面などもあり，場合分けの漏れにも注意が必要。

② 座標設定 座標を自分で設定することで，図形の方程式など代数に持っていく解法。計算量は多くなりがちだが，逆にいえば図に頼らず計算だけで押し切れるのが強み。直角の多い図形や，長さの関係式が与えられた問題で有力。中点や重心，直角の部分を原点に取ってみるなど，座標の取り方の工夫で計算量を減らせることも多い。

③ ベクトル 特に空間図形などでは標準的な手段。四面体・平行六面体などと相性がよく，計算量が少なく済むことも多い。各点の成り立ちなど，あらゆる条件をベクトルの式に書き換えられるようになると強みになる。

④ 複素数平面 主に回転がからむ問題で威力を発揮する。（履修者のみ）

① まずは始点を統一する（Point9.2.2）

② 平面なら2本，空間なら3本の基準ベクトルを決める（Point9.2.5）

③ 問題文の条件を，すべてベクトルの式に直す

④ ベクトルの式を処理する

向きと大きさだけで決まるので，文字式とほぼ同じように計算してよい。 和 交換法則 \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\)， 結合法則 \[(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\] 零・逆 \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a}\)，  \(\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=\class{mathkuu}{\underline{\overrightarrow{0}}}\)

実数倍 \(k(l\overrightarrow{a})=(kl)\overrightarrow{a}\)，  \((k+l)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{a}\)，  \[k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}\] ※ただしベクトルどうしの割り算はない。 またベクトルどうしの「かけ算」は内積という別物(Point9.3.1)で，答えはベクトルではなく実数。

まずは始点を統一せよ！

始点を\(C\)に変更（差）：\(\overrightarrow{AB}=\class{mathkuu}{\underline{\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}}}\)

\(C\)へ回り道（和）：\(\overrightarrow{AB}=\class{mathkuu}{\underline{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}}}\)

ベクトルの\(|\overrightarrow{\text{大きさ}}|\)は2乗せよ！

※そのままでは扱いにくいが，2乗すれば内積の計算に持ち込める。 ベクトルの大きさが出てきたら，とりあえず2乗しておこう。

平面ベクトルの基本は，2本の基準ベクトルで表せ！（空間なら3本）

※平行でない2本のベクトルを決めておけば，平面上のどの点も，その2本の実数倍の和として，しかもただ1通りに表せる（空間なら3本）。詳しくはPoint9.5.1以降で。

※この「基準ベクトル」は，大学で基底（きてい，basis）と呼ばれるものにあたる。ここではイメージしやすいように「基準」という言葉を使っている。

大きさ1のベクトルを単位ベクトルという。

\(\overrightarrow{a}\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} \overrightarrow{0}\)のとき，\(\overrightarrow{a}\)と同じ向きの単位ベクトルは \[\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}}}\] ※大きさで割れば長さが\(1\)になる，というだけのこと。

※正射影ベクトル(Point9.3.8)や角の2等分線(Point9.8.5)の立式で活躍する。

\(\overrightarrow{a}=(a_1,\ a_2)\)，\(\overrightarrow{b}=(b_1,\ b_2)\) とする。 和・差・実数倍 成分ごとに計算するだけ。 \[\overrightarrow{a}\pm\overrightarrow{b}=\class{mathkuu}{\underline{(a_1\pm b_1,\ a_2\pm b_2)}},\qquad k\overrightarrow{a}=\class{mathkuu}{\underline{(ka_1,\ ka_2)}}\] 大きさ 三平方の定理そのもの。 \[|\overrightarrow{a}|=\class{mathkuu}{\underline{\sqrt{a_1{}^2+a_2{}^2}}}\] 2点から作るベクトル A\((a_1,\ a_2)\)，B\((b_1,\ b_2)\) のとき \[\overrightarrow{AB}=\class{mathkuu}{\underline{(b_1-a_1,\ b_2-a_2)}}\quad(\text{「先}-\text{元」}),\qquad |\overrightarrow{AB}|=\class{mathkuu}{\underline{\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}}}\] ※空間も同じで，成分が3つになるだけ（Point9.9.1）。

なす角は内積で立式せよ！ \[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\class{mathkuu}{\underline{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos\theta}}\]

成分 \(\overrightarrow{a}=(a_1,\ a_2)\)，\(\overrightarrow{b}=(b_1,\ b_2)\) のとき \[\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\class{mathkuu}{\underline{a_1b_1+a_2b_2}} \qquad\text{（空間なら}\ \class{mathkuu}{\underline{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}}\text{）}\] 定義とあわせると，なす角は \[\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|} =\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1{}^2+a_2{}^2}\sqrt{b_1{}^2+b_2{}^2}}}} \qquad(0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ)\] 計算のきまり 内積も文字式と同じように展開してよい。 \[\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a},\qquad (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c},\qquad (k\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})\] \[\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=\class{mathkuu}{\underline{|\overrightarrow{a}|^2}}\qquad\text{つまり}\qquad |\overrightarrow{a}|=\sqrt{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}}\] これが「大きさは2乗せよ」(Point9.2.4)の正体。 内積の範囲 \(-1\leqq\cos\theta\leqq1\) より \[-|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\leqq\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\leqq\class{mathkuu}{\underline{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}}\] 最大・最小やコーシー・シュワルツ(Point9.3.13)で使う。

「2つのベクトルが平行」ときたら\(\cdots\)　2つのベクトル\(\overrightarrow{a}\)と\(\overrightarrow{b}\)が\(\overrightarrow{0}\)でないとき， \(\overrightarrow{a}\)と\(\overrightarrow{b}\)が平行\(\iff \class{mathkuu}{\underline{\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}}}\)となる実数kが存在 成分 \(\overrightarrow{a}=(a_1,\ a_2)\)，\(\overrightarrow{b}=(b_1,\ b_2)\) のとき \[\overrightarrow{a}\mathbin{/\mkern-5mu/}\overrightarrow{b}\iff \class{mathkuu}{\underline{a_1b_2-a_2b_1=0}}\] ※\(\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}\) を成分で書いて\(k\)を消去しただけ。 「たすきがけの差が0」だが，すぐに導けるので覚えなくてもよい。

2つのベクトル\(\overrightarrow{a}\)と\(\overrightarrow{b}\)が\(\overrightarrow{0}\)でないとき， \(\overrightarrow{a}\)と\(\overrightarrow{b}\)が垂直\(\iff \class{mathkuu}{\underline{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0}}\) 成分 \(\overrightarrow{a}\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}}\overrightarrow{0}\)，\(\overrightarrow{b}\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}}\overrightarrow{0}\) で， \(\overrightarrow{a}=(a_1,\ a_2)\)，\(\overrightarrow{b}=(b_1,\ b_2)\) のとき \[\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\iff \class{mathkuu}{\underline{a_1b_1+a_2b_2=0}}\] （空間なら \(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0\)。Point9.3.3） 注：内積が0を見てすぐ垂直としないように。どちらか，または両方が\(\overrightarrow{0}\)でないか確認

\(\overrightarrow{a}=(a,\ b)\)に垂直なベクトルを作りたいときは\(\cdots\) 成分をひっくり返して片方マイナス！ \(\overrightarrow{a}=(a,\ b)\) に垂直なベクトルの1つは， \(\class{mathkuu}{\underline{(b,\ -a)}}\) または \(\class{mathkuu}{\underline{(-b,\ a)}}\)

確認 \((a,\ b)\cdot(b,\ -a)=ab-ab=\class{mathkuu}{\underline{0}}\) なので，たしかに垂直。 ※\((b,\ -a)\)と\((-b,\ a)\)は向きが逆なだけ（\(180^\circ\)反対）。どちらを使ってもよい。

※直線 \(ax+by+c=0\) で言うと，\((a,\ b)\)が法線ベクトル，\((b,\ -a)\)が方向ベクトル。 この2つはいつでもこの関係(Point9.6.3)。

※空間では使えない。1本のベクトルに垂直なベクトルは無数にあり（平面をなす）， 成分の入れ替えだけでは決まらない。

内積の正負で鋭角・鈍角の判断ができる！ \[\theta が鋭角：\cos\theta \class{mathkuu}{>}0 から，\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}\class{mathkuu}{>}0 で，\text{（内積）}\class{mathkuu}{>}0\] \[\theta が鈍角：\cos\theta \class{mathkuu}{<}0 から，\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}\class{mathkuu}{<}0 で，\text{（内積）}\class{mathkuu}{<}0\]

※これは点と直線の距離（Point2.3.9）の正体でもある。点から直線へ向かうベクトルを，直線の法線ベクトル方向へ正射影した長さが，そのまま距離の公式になる。

「対称点」ときたら，①垂直と②中点を数式化！ →ベクトルでは，正射影ベクトルを利用するのもアリ！ ※直線が\(y=mx+n\)のように式で与えられているときは，「中点がその直線上」＋「垂直」を座標で立式するのが定番（図形と方程式）。

垂線の足の立式は，「●上かつ垂直条件」の2通りで立式！

1. \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}\)、\(\angle AOB = \theta\) のとき、△OABの面積Sは、 \[S = \class{mathkuu}{\underline{\frac{1}{2} |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \sin \theta }}= \class{mathkuu}{\underline{\frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{a}|^2 |\overrightarrow{b}|^2 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2}}}\] 注：この式は平面でも空間でも成り立つ。
2. \(\overrightarrow{a} = (a_1, a_2)\)、\(\overrightarrow{b} = (b_1, b_2)\) のとき、 \[S = \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{2} |a_1 b_2 - a_2 b_1|}}\]

積の和：\(●x+▲y\)は，内積とみることができる！ ※同じ見方から，コーシー・シュワルツの不等式も作れる（Point9.3.13）。

任意の実数 \(a, b, c, x, y, z\) に対して， \[\begin{aligned} \text{2変数版：}\ \class{mathkuu}{\underline{(ax + by)^2}} &\leqq \class{mathkuu}{\underline{(a^2 + b^2)(x^2 + y^2)}}\\[4pt] \text{3変数版：}\ \class{mathkuu}{\underline{(ax + by + cz)^2}} &\leqq \class{mathkuu}{\underline{(a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)}} \end{aligned}\] 証明 ベクトル \(\overrightarrow{a} = (a,\ b,\ c)\)，\(\overrightarrow{x} = (x,\ y,\ z)\) とおくと， \[\begin{aligned} \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{x} &= ax + by + cz\\ |\overrightarrow{a}| &= \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\\ |\overrightarrow{x}| &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \end{aligned}\] であるから， \[\begin{aligned} (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{x})^2 &= |\overrightarrow{a}|^2 |\overrightarrow{x}|^2 \cos^2\theta\\ &\leqq |\overrightarrow{a}|^2 |\overrightarrow{x}|^2 \end{aligned}\] （\(\leftarrow 0\leqq\cos^2\theta\leqq 1\) より，内積と大きさの積の大小関係は？） \[\therefore\ (ax + by + cz)^2 \leqq (a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)\] ※シンプルに大-小\(>0\)で証明できるが，コーシー・シュワルツの不等式の導出に役立つ！

　忘れたらいつも上の流れで作っています。

始点を変更・統一して，係数和を1に調整すれば，内分点の公式の逆が使える！

「\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\)（，\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}\)）が1次独立」とは，次のこと。 【平面】\(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}\)  ① \(\overrightarrow{a}\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} \overrightarrow{0}\)，\(\overrightarrow{b}\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} \overrightarrow{0}\) かつ \(\class{mathkuu}{\underline{\overrightarrow{a}\mathbin{\rlap{\kern2mu\backslash}{/\mkern-5mu/}}\overrightarrow{b}}}\)

 ② 3点 O，A，B が同一直線上にない

 ③ \(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}\) で三角形OAB が張れる 【空間】\(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}\)  ②\('\) 4点 O，A，B，C が同一平面上にない

 ③\('\) \(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}\) で四面体OABC が張れる ※②と②\('\)，③と③\('\)がそれぞれ平面版・空間版の対応になっている。

※「張れる」＝そのベクトルたちを辺として実際に図形ができる，ということ。 つぶれて三角形（四面体）にならないときが1次従属。

1次独立なベクトルとは，「座標軸」として使えるベクトルのことである！  ・ベクトルの目標の一つは，平面や空間のすべての点を記述すること。

 ・普段の座標軸は互いに直交するものを選んでいるが，面倒を受け入れれば斜めの軸でもすべての点を表せる（斜交座標）。これがベクトルと対応している。

 ・座標平面で点\((3,\ 4)\)は，\(x\)軸方向に3，\(y\)軸方向に4，というただ1通りでしか表せない。ベクトルも同じ。

 ・ところが2軸が平行だったり，どちらかが長さ0だったりすると，表せない点が出たり，複数通りで表せてしまう。 つまり①〜③（Point9.5.1）は，どれも「軸として使えるか」を言い換えたもの。 三角形（四面体）が張れる，というのはつぶれていない軸が2本（3本）とれているということで，やはり同じ話である。 だから係数比較ができる 1つの点を1次独立なベクトルの線形和で2通りに表せたら，その2つは同じ表し方でしかありえない。よって係数どうしが一致する。 ※逆に，一意的でない表し方では係数比較できない。たとえば直線の方程式の一般形。

  \(2x+3y+5=0\) と \(4x+6y+10=0\) は係数が違うのに同じ直線（EX「2直線の一致」，Point5.3.4）。

ベクトルの交点問題で係数比較ができるのは，任意のベクトルが1次独立な2つ（空間では3つ）のベクトルの線形和 \[\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}\ (+u\vec{c})\] の形に一意的に表されるからである。 一意的でなければ，別の係数の組でも表せてしまうかもしれないので， 「係数を比較して一致する」という解法はとれない。 だから係数比較の際は，1次独立であることを答案に書かなければならない。 今一度教科書等を読んでみましょう。 ※一意的でないものの例：直線の方程式の一般形 \(ax+by+c=0\)（\(2ax+2by+2c=0\)も同じ直線）。 1つの直線を複数通りの式で表せる以上，係数比較はできない （この例なら「各係数の比が一致」が条件。EX「2直線の一致」，Point5.3.4）。

交点は2通りで表せ！

→1次独立を確認して係数比較！

\[ c = -ax_0 - by_0 とおくと、 \quad \class{mathkuu}{\underline{ax + by + c = 0}}\ \text{（直線の方程式（一般形）が導ける！）} \] 直線 \(ax + by + c = 0\) の法線ベクトルの1つは、\[\overrightarrow{n} =\class{mathkuu}{\underline{ (a, b)}}\] ちなみに方向ベクトルは，法線ベクトルに垂直なベクトルだから，成分をひっくり返して片方マイナスで \[\overrightarrow{d}=\class{mathkuu}{\underline{(b,\ -a)}}\ \ または\ \ \class{mathkuu}{\underline{(-b,\ a)}}\] （Point9.3.6。傾き\(-\dfrac{a}{b}\)と一致していることも確かめてみよう）

2直線のなす角は，それぞれの法線ベクトルのなす角で求められる！

A(\(\overrightarrow{a}\))、B(\(\overrightarrow{b}\))、動点P(\(\overrightarrow{p}\))、\(\overrightarrow{d} \mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} \overrightarrow{0}\) とする。

① 点Aを通り、\(\overrightarrow{d}\) に平行な直線のベクトル方程式は、\(t\)を実数とすると、 \[\overrightarrow{p} = \class{mathkuu}{\underline{\overrightarrow{a} + t \overrightarrow{d}}}\] 点A(\(x_1\), \(y_1\))、\(\overrightarrow{d} = (\ell, m)\) のときの \(t\) を媒介変数とする直線の方程式は、P\((x,\ y)\)とすると \[\begin{cases}x = \class{mathkuu}{\underline{x_1 + lt}} \\y = \class{mathkuu}{\underline{y_1 + mt}}\end{cases}\] ② 異なる2点A、Bを通る直線のベクトル方程式は、\(s,\ t\)を実数とすると、 \[\overrightarrow{p} = \class{mathkuu}{\underline{(1 - t)\overrightarrow{a} + t \overrightarrow{b}}}, \quad \overrightarrow{p} = s \overrightarrow{a} + t \overrightarrow{b} \quad (s + t = \class{mathkuu}{\underline{1}})\quad(共線条件)\] ③ 点A(\(x_1\), \(y_1\))を通り、\(\overrightarrow{n} = (a, b)\) に垂直な直線のベクトル方程式は、\(\overrightarrow{p}を用いて、\) \[\class{mathkuu}{\underline{\overrightarrow{n} \cdot (\overrightarrow{p} - \overrightarrow{a}) = 0}}\] この直線の方程式は、点P\((x,\ y)\)とすると， \[\class{mathkuu}{\underline{a(x - x_1) + b(y - y_1) = 0}}\] ④ 直線 \(ax + by + c = 0\) の法線ベクトルの1つは、\(\overrightarrow{n} = (\class{mathkuu}{\underline{a}}, \ \class{mathkuu}{\underline{b}})\)

⑤ 【空間】点A\((x_1, y_1, z_1)\) を通り方向ベクトルが \((a, b, c)\) であるような直線の方程式は、
点P\((x,\ y,\ z)\)とすると， \[ \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{x - x_1}{a} = \dfrac{y - y_1}{b} = \dfrac{z - z_1}{c}}}\qquad (a, b, c \mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0) \] ※1番の基本のベクトル方程式に成分代入し，\(t=\)とすると簡単に得られる。分母を見ればわかりやすいが，点Aを原点に移すことを考えたとき，各成分の比が方向ベクトルとなり，直感的にわかりやすい。

直線 L と平面P が垂直とは，平面P上のすべての直線と直線 Lが垂直であるということである。

また，平面は一直線上にない3点あれば決まるから，平面P上の（平行でない）2つの直線と，直線Lが垂直であることが示されれば，直線 L と平面P は垂直である。

A(\(\overrightarrow{a}\))、B(\(\overrightarrow{b}\))、C(\(\overrightarrow{c}\))、動点P(\(\overrightarrow{p}\)) とする。

① 原点O中心、半径 \(r\) の円のベクトル方程式は、点P，\(\overrightarrow{p}\)を用いて、 \[|\overrightarrow{OP}| = r，すなわち　|\overrightarrow{p}| = r, \quad \overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{p} = r^2\] この円の方程式は、点P\((x,\ y)\)とすると， \[x^2 + y^2 = r^2\] ② 中心 \(C(a, b)\)、半径 \(r\) の円のベクトル方程式は、\(\overrightarrow{p}\)を用いて、 \[\class{mathkuu}{\underline{|\overrightarrow{p} - \overrightarrow{c}|}} = \class{mathkuu}{\underline{r}}, \quad (\overrightarrow{p} - \overrightarrow{c}) \cdot (\overrightarrow{p} - \overrightarrow{c}) = r^2\] この円の方程式は、点P\((x,\ y)\)とすると， \[\class{mathkuu}{\underline{(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2}}\] ③ 2点 A, B を直径の両端とする円のベクトル方程式は、点P，\(\overrightarrow{p}\)を用いて、 \[\class{mathkuu}{\underline{\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BP}=0}}，すなわち\quad (\overrightarrow{p} - \overrightarrow{a}) \cdot (\overrightarrow{p} - \overrightarrow{b}) = 0\] ④ 円 \((\overrightarrow{p} - \overrightarrow{a}) \cdot (\overrightarrow{p} - \overrightarrow{a}) = r^2\) の円周上の点 P(\(\overrightarrow{p_0}\)) における接線のベクトル方程式は、 \[\class{mathkuu}{\underline{(\overrightarrow{p_0} - \overrightarrow{a}) \cdot (\overrightarrow{p} - \overrightarrow{a})}} = r^2\] ※裏技チックだが，\(\overrightarrow{p}\)について内積ベースで2次なら円（①の\(\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{p}=r^2\)，②，③がそう）， 内積ベースで1次なら直線（④の接線の式がそう）という感覚でいると便利。

軌跡ときたら・・・始点をそろえて \(|\overrightarrow{○P}-\overrightarrow{○A}|=r\) の形を目指してみよう！

→この形になれば，Pは中心A，半径\(r\)の円をえがく。

\(\because\ |\overrightarrow{○P}-\overrightarrow{○A}|=\class{mathkuu}{\underline{|\overrightarrow{AP}|}}\)（始点変更，Point9.2.3） ※2乗して整理したとき， \(\overrightarrow{p}\)について内積ベースで2次なら円，1次なら直線となることが多い(Point9.7.1)。

\(\overrightarrow{OA}\) と \(\overrightarrow{OB}\) は一次独立で，\(\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}\)が成り立つとき， \[\class{ptcolor}{\text{①}} \quad s + t = 1 \quad \text{(係数の和が1)} \quad \Longleftrightarrow \quad \class{mathkuu}{\underline{\text{直線AB上}}} \] \[\class{ptcolor}{\text{②}} \quad s + t = 1, \ s \geqq 0, \ t \geqq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \class{mathkuu}{\underline{\text{線分AB上}}} \] \[\class{ptcolor}{\text{③}} \quad s + t \leqq 1, \ s \geqq 0, \ t \geqq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \class{mathkuu}{\underline{\text{三角形OABの周と内部}}} \] \[\class{ptcolor}{\text{④}} \quad 0 \leqq s \leqq 1, \ 0 \leqq t \leqq 1 \quad \Longleftrightarrow \quad \class{mathkuu}{\underline{\text{平行四辺形OACBの周と内部}}}\] ※①がなぜ直線ABなのか：\(s+t=1\)より\(s=1-t\)だから \[\overrightarrow{OP}=(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+t(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}\] となり，まさに点\(A\)を通り\(\overrightarrow{AB}\)に平行な直線(Point9.6.2)。②〜④もこの式変形から自分で導ける。

\[三角形ABC\quad：\quad\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})\left( =\dfrac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{3}\right) \] \[四面体ABCD\quad：\quad\overrightarrow{OG} = \frac{1}{4} (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD})\left( =\dfrac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}+ \overrightarrow{d}}{4}\right) \] （四面体の重心は，頂点と対面の重心を結ぶ線分を 3:1 に内分する点）

外心の立式ときたら・・・下のどちらかで立式！

ちなみに、外心O、重心G、垂心Hは一直線上に並び、OG：GH\(=\)1：2！

他にも証明方法はあるが，以下は外心を始点としたベクトルを用いた証明。 \[ \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} =3\cdot \frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{3}= 3 \cdot \overrightarrow{OG} \] よって、\(O, G, H\) は一直線上にあり、 \[OG:GH = 1:2\] ※幾何的な位置づけは数学ⅠA「図形と計量・図形の性質」のオイラー線にもまとめている。

\(A(x_1, y_1, z_1)\)，\(B(x_2, y_2, z_2)\) とするとき， \[AB = \class{mathkuu}{\underline{\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}}}\]

\(\Longrightarrow\)　4点から等距離にある点が外接球の中心！

\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) に垂直で、\(\overrightarrow{a}\) から \(\overrightarrow{b}\) に右ねじを回す向きを持ち、その大きさが、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) で作る平行四辺形の面積 \(S = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta\) となるベクトルを外積という。

※内積は数値であるが，外積はベクトルであることに注意。

点 \(P(x_0, y_0, z_0)\) と平面 \(ax + by + cz + d = 0\) の距離 \(h\) は， \[h = \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}}}\]

「円が接する」問題と同様，内接と外接の2パターンあることを忘れない！ 2つの球の中心間の距離\(d\)，半径をそれぞれ\(r_1,\ r_2\)とすると，