積分法（数学Ⅱ）

\(F^{\prime}(x)=f(x)\)のとき\(, \qquad\int_{}^{}f(x) d x=\class{mathkuu}{\underline{F(x)+C}}\)

(1) \(\int_{}^{} x^n d x=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{n+1} x^{n+1}+C}}\) カタマリ積分\(\int_{}^{}(x+a)^n d x=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{n+1}(x+a)^{n+1}+C}}\) ※発展：\(\int_{}^{}(ax+b)^n d x=\dfrac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1}+C\)も成り立つ。(上式は\(a=1\)のときと同等) (2) 線形性(和・差・定数倍)\[\int_{}^{} \left\{ k f(x)+lg(x)\right\} dx=\class{mathkuu}{\underline{k\int_{}^{} f(x) dx+l\int_{}^{} g(x) dx}}\]

\(F^{\prime}(x)=f(x)\) のとき \[ \int_a^b f(x) d x=\class{mathkuu}{\underline{[F(x)]_a^b}}=\class{mathkuu}{\underline{F(b)-F(a)}} \] (1) 線形性(和・差・定数倍) \[\int_{a}^{b} \left\{ k f(x)+lg(x)\right\} dx=\class{mathkuu}{\underline{k\int_{a}^{b} f(x) dx+l\int_{a}^{b} g(x) dx}}\] (2) \(\int_{a}^{a}f(x) dx=\class{mathkuu}{\underline{0}}\)

(3) 上端・下端の交換 \(\int_{b}^{a}f(x) dx=\class{mathkuu}{\underline{-\int_{a}^{b}f(x) dx}}\)
(4) 積分区間の連結・分解 \(\quad \int_{a}^{c}f(x) dx+\int_{c}^{b}f(x) dx=\class{mathkuu}{\underline{\int_{a}^{b}f(x) dx}}\)

※積分される関数\(f(x)\)が同じでないと積分区間の連結や分解はできないので注意

\(\because\) (2) \( (左辺)=\class{mathkuu}{\underline{F(a)-F(a)}}=0\)
(3) \( (左辺)=F(a)-F(b)=\class{mathkuu}{\underline{-(F(b)-F(a))}}=(右辺)\)
(4) （左辺）\(=\class{mathkuu}{\underline{\{F(c)-F(a)\} + \{F(b)-F(c)\}}}=F(b)-F(a)=\)（右辺）

\(①\)積分区間が定数のパターン

　\(\int_{定数}^{定数}f(t)dt=\class{mathkuu}{\underline{k}}\)とおけ！（\(k\)は定数） \(②\)積分区間に変数があるパターン 　STEP.1 両辺 \(x\) で微分する。 （公式：\(\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{d}{dx} \int_{a}^{x}f(t)\underline{dt}=f(x)}}\) 利用）
　STEP.2 定積分の値を0 にするような \(x=●\) を代入する。

積分区間に変数があると苦手に感じる方がいるが，定積分の定義は特に変わらない！

一般に，\(a\)を定数とし，\(F^\prime (t)=f(t)\)のとき， \(\int_{a}^{x}f(t)dt=\class{mathkuu}{\underline{F(x)-F(a)}}　←\)これは\(t\)ではなく\(\class{mathkuu}{\underline{x}}\)の関数 ゆえに，下の式が成り立つ。

図形の面積を求めるうえでの基本の計算は、\[\int_{左}^{右}\left\{ \left(\class{mathkuu}{\underline{上}}の曲線\right)-\left(\class{mathkuu}{\underline{下}}の曲線\right) \right\} dx\] また、面積の積分計算では、上または下の関数がかわるところで区間を分ける

絶対値(\(y=|f(x)|\))のグラフは\(\cdots\) \(y=f(x)\)のグラフの負の部分を折り返す

絶対値ときたら・・・中身の正負で場合分け！→積分区間を分割

放物線と直線、あるいは 放物線と放物線の問題で，下図のような交点から交点の面積では、以下の公式が使えることがある。

記述問題で，積分を用いた立式無しに結果だけ使うのはNG。マークなどは有効。 \[\int_{左}^{右}\left(上-下\right) dx =●\int_{\alpha}^{\beta}\left(x-\alpha\right)^2 \left(x-\beta\right)dx\] \[\left(=●\int_{\alpha}^{\beta}\left(x-\alpha\right)^2\{ \left(x-\alpha\right)-\left(\beta-\alpha\right)\}dx \right) =●\cdot \left\{\class{mathkuu}{\underline{-\dfrac{1}{12}(\beta-\alpha)^4}}\right\}\]

記述問題で，積分を用いた立式無しに結果だけ使うのはNG。マークなどは有効。 \[\int_{左}^{右}\left(上-下\right) dx=●\int_{\alpha}^{\beta}\left(x-\alpha\right)^2dx =●\cdot \left\{\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{3}(\beta-\alpha)^3}}\right\}\]  （カタマリ積分）

以下の性質は入試頻出であるので、記述で使ってはいけないが知っておくと便利である。 公式1：放物線 \(y=ax^2+bx+c\) 上の二点 \(A,B\) における接線の交点を \(P\) とおくとき，\(P\) の\(x\)座標は \(A,B\) の\(x\)座標の平均となる

公式2：図において \(S:T=2:1\) である

また、このTの面積を求める式を12分の1公式ということもある。（「公式１を用いて3分の１公式を2回利用して証明」\(or\)「6分の1公式で\(S\)を求め、公式2の性質と合わせて証明」 1/12公式（二次関数版）：放物線 \(y=ax^2+bx+c\) の2本の接線の接点の\(x\)座標を \(\alpha,\beta\) とおくとき，放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積\(T\)は， \[T=\dfrac{|a|}{12}|\beta-\alpha|^3\]

円・扇形の面積は・・・なるべく積分せず\(\pi r^2 \times \dfrac{中心角}{360^\circ}\)を利用せよ！

積分計算で面積を求めるとき、被積分関数をそのまま最後まで積分する必要はない。図形として求めやすい部分に分解・変形すると、計算量をぐっと減らせることがある。

・三角形など、積分せずに面積が求まる部分があれば、その部分は積分せずに済ませる。

・6分の1公式・12分の1公式・3分の1公式などが使える部分があれば，全体からその面積を引き算する方が速いこともある。

「本当にこのまま積分するのが一番早いか？」を、計算を始める前に一度確認する癖をつけよう。