積分法（数学Ⅱ）

\(F^{\prime}(x)=f(x)\) のとき，\(\int_{}^{}f(x)\,dx=\class{mathkuu}{\underline{F(x)+C}}\) （\(C\) は積分定数）

(1) \(x^n\) の不定積分 \[\int_{}^{}x^n\,dx=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C}}\] (2) 線形性（和・差・定数倍） \[\int_{}^{}\left\{kf(x)+lg(x)\right\}dx=\class{mathkuu}{\underline{k\int_{}^{}f(x)\,dx+l\int_{}^{}g(x)\,dx}}\] (3) カタマリ積分  \(x+a\) をひとかたまりとみて，そのまま積分する。 \[\int_{}^{}(x+a)^n\,dx=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{n+1}(x+a)^{n+1}+C}}\]

\(F^{\prime}(x)=f(x)\) のとき \[ \int_a^b f(x) d x=\class{mathkuu}{\underline{[F(x)]_a^b}}=\class{mathkuu}{\underline{F(b)-F(a)}} \] (1) 線形性(和・差・定数倍) \[\int_{a}^{b} \left\{ k f(x)+lg(x)\right\} dx=\class{mathkuu}{\underline{k\int_{a}^{b} f(x) dx+l\int_{a}^{b} g(x) dx}}\] (2) \(\int_{a}^{a}f(x) dx=\class{mathkuu}{\underline{0}}\)

(3) 上端・下端の交換 \(\int_{b}^{a}f(x) dx=\class{mathkuu}{\underline{-\int_{a}^{b}f(x) dx}}\)
(4) 積分区間の連結・分解 \(\quad \int_{a}^{c}f(x) dx+\int_{c}^{b}f(x) dx=\class{mathkuu}{\underline{\int_{a}^{b}f(x) dx}}\)

※積分される関数\(f(x)\)が同じでないと積分区間の連結や分解はできないので注意

\(\because\) (2) \( (左辺)=\class{mathkuu}{\underline{F(a)-F(a)}}=0\)
(3) \( (左辺)=F(a)-F(b)=\class{mathkuu}{\underline{-(F(b)-F(a))}}=(右辺)\)
(4) （左辺）\(=\class{mathkuu}{\underline{\{F(c)-F(a)\} + \{F(b)-F(c)\}}}=F(b)-F(a)=\)（右辺）

\(①\) 積分区間が定数のパターン

積分区間が定数なら，その定積分の値はただの定数。そこで \[\int_{定数}^{定数}f(t)\,dt=k\quad（k は定数）\ とおく！\] 手順1  \(\int_{定数}^{定数}f(t)dt=k\) とおいて，元の積分方程式を \(k\) の式で表す。

手順2  それを \(k\) の定義式に代入して \(k\) の方程式をつくり，\(k\) を決定する。 \(②\) 積分区間に変数があるパターン

手順1  両辺を \(x\) で微分する。 （公式：\(\dfrac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,\underline{dt}=\class{mathkuu}{\underline{f(x)}}\)）

手順2  定積分の値が \(\class{mathkuu}{\underline{0}}\) になる \(x\)（＝上端と下端が一致する \(x\)）を代入する。

積分区間に変数があると苦手に感じる方がいるが，定積分の定義は特に変わらない！

一般に，\(a\)を定数とし，\(F^\prime (t)=f(t)\)のとき， \[\int_{a}^{x}f(t)\,dt=\class{mathkuu}{\underline{F(x)-F(a)}}\] 　←これは \(t\) ではなく \(\class{mathkuu}{\underline{x}}\) の関数 ゆえに，下の式が成り立つ。

図形の面積を求めるうえでの基本の計算は、\[\int_{左}^{右}\left\{ \left(\class{mathkuu}{\underline{上}}の曲線\right)-\left(\class{mathkuu}{\underline{下}}の曲線\right) \right\} dx\] また、面積の積分計算では、上または下の関数がかわるところで区間を分ける

絶対値(\(y=|f(x)|\))のグラフは\(\cdots\) \(y=f(x)\)のグラフの負の部分を\(x\)軸で折り返す

絶対値ときたら・・・中身の正負で場合分け！→積分区間を分割する

■ 6分の1公式（式変形） \[\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=\class{mathkuu}{\underline{-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3}}\] ■ 6分の1公式（面積）

放物線と直線，放物線と放物線が2点で交わるとき，その交点の \(x\) 座標を \(\alpha,\ \beta\ (\alpha<\beta)\) とすると， \[(上の曲線)-(下の曲線)=\class{mathkuu}{\underline{a(x-\alpha)(x-\beta)}}\qquad (a は x^2 の係数)\] と因数分解できる。したがって交点から交点までの面積は \[S=\int_{\alpha}^{\beta}\left\{上-下\right\}dx=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3}}\] ※\(\left\{上-下\right\}\) が2次式になればよいので，3次関数どうしで \(x^3\) の係数が等しいときなども使える。

■ 12分の1公式（式変形） \[\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{\color{red}{2}}(x-\beta)\,dx=\class{mathkuu}{\underline{-\dfrac{1}{12}(\beta-\alpha)^4}}\] \[\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)^{\color{red}{2}}\,dx=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{12}(\beta-\alpha)^4}}\] ■ 12分の1公式（面積）

■ 3分の1公式（式変形）  カタマリ積分そのもの。 \[\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2\,dx=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{3}(\beta-\alpha)^3}}\] ■ 3分の1公式（面積）

入試頻出。記述でいきなり使ってはいけないが，知識としてもっておくと見通しが立つ。

面積を求めるとき，与えられた形のまま最後まで積分する必要はない。 求めやすい図形に分解したり，全体から引いたりすると，計算量がぐっと減ることがある。 使える手

・三角形や台形など，積分せずに面積が求まる部分は，積分しない。

・6分の1公式・12分の1公式・3分の1公式が使える部分があれば，全体からその部分を引く方が速いこともある。

・対称性が使えるなら，半分だけ求めて2倍する。