8. 確率分布と統計

確率分布と統計は，大きく分けて3テーマ！ ① 確率分布

　\(\cdots\) 「色々な確率分布の期待値・分散・標準偏差等が求められるか」，

　　「確率変数を変換できるか」が頻出テーマ！数Iのデータの分析と同じ感じ。 ② 二項分布と正規分布

　\(\cdots\) 確率分布の中でも，反復試行の確率分布は二項分布と呼ばれる。

　　また，その反復試行の試行回数が大きくなると，正規分布と呼ばれるものに近づく。

　　そしていろいろな正規分布を，キホンの形に変える「標準化」と，標準化することで

　　利用できるようになる「正規分布表」を用いた確率の計算などが頻出テーマ！ ③ 統計的な推測

　\(\cdots\) 「母集団と標本」，「推定」，「（仮説）検定」がメインテーマ！

　　膨大なデータ（「母集団」）を全て調べるのは大変なので，一部分だけ抽出した「標本」

　　を調べ，元の母集団がどんな平均値や分散をもっていたのか「推定」する。

　　また検定では，ある主張が正しいかどうか統計的に判定する。 ※二項分布は通常①に分類されるが，わかりやすさを重視して②に分類した。

・確率変数 \( X \) の期待値（平均）\( E(X) \) ・確率変数 \( X \) の分散 \( V(X) \) 　\( X \) の期待値\( E(X) \)を \( m \) とすると， \[ \begin{aligned} ①\ \ V(X) &= \class{mathkuu}{\underline{(x_1 - m)^2 p_1 + \cdots + (x_n - m)^2 p_n}}\\ &= \class{mathkuu}{\underline{\sum\limits_{k=1}^n (x_k - m)^2 p_k}}\ \left( =E((X-m)^2)\right) \end{aligned} \] \[ ②　V(X) = \class{mathkuu}{\underline{E(X^2) - \{E(X)\}^2}} \] ・確率変数 \( X \) の標準偏差 \( \sigma(X) \) \[ \sigma(X) = \class{mathkuu}{\underline{\sqrt{V(X)}}} \]

確率変数 \( X \) と定数 \( a \), \( b \) に対して，新たな確率変数\( Y = aX + b \) とすると， \[ \begin{aligned} \text{期待値} \ ：\ E(Y) = &E(aX+b)= \class{mathkuu}{\underline{aE(X) + b}} \\ \text{分散} \ ：\ V(Y) = &V(aX+b)= \class{mathkuu}{\underline{a^2 V(X)}} \\ \text{標準偏差} \ ：\ \sigma(Y) = &\sigma(aX+b)= \class{mathkuu}{\underline{|a| \sigma(X)}} \end{aligned} \] ※これも数学ⅠA「データの分析」の変量の変換まとめと同じ。テストの全員の点数を\(a\)倍して\(b\)足せば平均もそうなるし，全員の点数を\(a\)倍すれば，分散は2乗で効いてくる。（定義に代入すれば明らか）

ただ，全員の点数に何点か足しても散らばり度合いには影響はしないから，定数\(b\)を足したところで分散は変わらないことも直感と一致する。

【復習】

・「2つの試行 \( S, T \) が独立である」：その結果である \( S \) の事象 \( A \)，\( T \) の事象 \( B \) について，一方で事象 \( A \) が起こり，もう一方で事象 \( B \) が起こる確率は \( P(A) \times P(B) \) で表される。つまり「試行が」独立であるとき，その試行によって生じる様々な事象は全て独立であるという事。 個人的に一番わかりやすいのは，下のようにカルノー図を描いて視覚的に捉える方法。

カルノー図を書いたときに区切りがズレなければ独立，ズレたら独立でない。

確率変数 \( X \), \( Y \) と定数 \( a \), \( b \) に対して，
\[ \begin{aligned} E(X + Y) &= \class{mathkuu}{\underline{E(X) + E(Y)}}\\ E(aX + bY) &= \class{mathkuu}{\underline{aE(X) + bE(Y)}} \end{aligned} \] 確率変数 \( X \) と \( Y \) が独立であるならば
\[ \begin{aligned} \text{期待値} \quad E(XY) &= \class{mathkuu}{\underline{E(X)E(Y)}} \\ \text{分散} \quad V(X + Y) &= \class{mathkuu}{\underline{V(X) + V(Y)}} \end{aligned} \] 確率変数 \( X \) と \( Y \) が独立でない(従属)ならば
\[ \begin{aligned} \text{期待値} \quad E(XY) &\class{mathkuu}{\underline{\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}}}} E(X)E(Y) \\ \text{分散} \quad V(X + Y) &\class{mathkuu}{\underline{\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}}}} V(X) + V(Y) \end{aligned} \]
※期待値の和は，独立であっても独立でなくても分けられる。

※\(V(XY)=V(X) \cdot V(Y)\)は，独立であろうが独立でなかろうが成り立たない。

下の式も公式として扱うことがある。これまでに習った公式を拡張しているだけなので新たに覚える必要はないが，演習として取り組んでみよう。一番右の列は，各式に登場する確率変数が独立，という条件がなくても成り立つなら○，成り立たないなら×を記せ。

※\(V(XY)=V(X) \cdot V(Y)\)は，独立であろうが独立でなかろうが成り立たない。

1個のサイコロを \( n \) 回投げたときに，1の目がでる回数を \( X \) ，\(p = \dfrac{1}{6}, \ q = \dfrac{5}{6}\)とする。 \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & \cdots & r & \cdots & n & 計 \\ \hline P & {}_n C_0 q^n & {}_n C_1 pq^{n-1} & \cdots & {}_n C_r p^r q^{n-r} & \cdots & {}_n C_n p^n & 1 \\ \hline \end{array} \] この表の確率は，二項定理の展開式
\[ \begin{aligned} (q + p)^n = &\ {}_n C_0 q^n + {}_n C_1 pq^{n-1} + \cdots\\ &+ {}_n C_r p^r q^{n-r} + \cdots + {}_n C_n p^n \end{aligned} \] の各項を順に並べたものになっている。そこでこの確率分布を二項分布と呼び，\( \class{mathkuu}{\underline{B}}(\class{mathkuu}{\underline{n}}, \class{mathkuu}{\underline{p}}) \) で表す。また，確率変数\(X\)は，二項分布\( B(n, p) \)に従う，という。

※Bの由来は，binomial distribution（二項分布）。biが付くと2の意味。bicycleとか。

サイコロやコイン，良品・不良品など，毎回の（成功）確率が同じ「反復試行」で，かつ

「結果が成功・失敗など2状態の回数，個数系」ときたら・・・

→二項分布に関する問題を疑え！

→試行回数と毎回の（成功）確率の2つの要素を考えよ！ \(\because\)（二項分布は，\( \class{mathkuu}{\underline{B}}(\class{mathkuu}{\underline{n}}, \class{mathkuu}{\underline{p}}) \) で表される。）

確率変数 \( X \) が二項分布 \( B(n, p) \) に従うとき、\( q = 1 - p \) （すなわち失敗確率！）とすると

二項分布 \( B(n, p) \) において，試行回数\( n \)を，100回，1000回，・・・とどんどん増やしていくと，正規分布に近づく。

→二項分布 \( B(n, p) \) に従う確率変数 \( X \) は，\( n \) が大きいとき，

近似的に正規分布 \( \class{mathkuu}{\underline{N}}(\class{mathkuu}{\underline{np}}, \class{mathkuu}{\underline{npq}}) \) に従う。ただし，\( q = 1 - p \) である。

身長や一定の規格で作られた部品の誤差など，自然界や社会において偶然に起こる現象には，正規分布と呼ばれる分布に従うものが多い。 であるとき，この\(X\)の確率分布を正規分布といい，

\(\boldsymbol{\class{mathkuu}{\underline{N}}(\class{mathkuu}{\underline{m}},\ \class{mathkuu}{\underline{\sigma^{2}}})}\)で表す。このとき，\(X\)は正規分布\(\boldsymbol{\class{mathkuu}{\underline{N}}(\class{mathkuu}{\underline{m}},\ \class{mathkuu}{\underline{\sigma^{2}}})}\)に従うといい，曲線\(y=f(x)\)を正規分布曲線という。(\(e=2.71828\cdots\cdots\)：自然対数)

※馴染み深いところでいうと，テストの結果が正規分布に従うとき，偏差値は期待値（平均）50，標準偏差10の\(N(50,\ 10^2)\)で考える。よって，上式から偏差値が40～60の受験者は全体の約68%であり、偏差値が30〜70の受験者は全体の約95%，偏差値70を取ったときには上の結果から自身が上位2.5%\(((100-95)\div 2)\)に入っていることなどが分かる。なので，模試の結果の標準偏差のところに書いてある得点分プラスで取れたら，偏差値が10上がるという仕組みである。

→グラフの「山の位置と，そこから変曲点までの距離（形）」， すなわち平均と標準偏差(の2乗)の2つの要素を考えよ！

標準正規分布 \( N(\class{mathkuu}{\underline{0}}, \class{mathkuu}{\underline{1}}) \) にしたがう確率変数 \( Z \) に対して，確率 \( P(0 \leqq Z \leqq u) \) を，\( u \) のいろいろな値に対して計算して表にまとめたものを 正規分布表 という。

確率変数 \( X \) が正規分布 \( N(m, \sigma^2) \) に従うとき、\( Z = \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{X - m}{\sigma}}} \) とおくと、 確率変数 \( Z \) は標準正規分布 \( N(\class{mathkuu}{\underline{0}}, \class{mathkuu}{\underline{1}}) \) に従う。

\( Z = \dfrac{X - m}{\sigma} \)の式が苦手な人が多いが，日本語で理解すれば怖くない。データの平均値を0にするために，まずはすべてのデータの値から平均値の\(m\)を引く！

次に，標準偏差を\(\sigma\)から1にしたい。データの分析の変量変換の式を思い出すと，各データの値を\(a\)倍するとデータの分散は2乗で効いてくるので，分散は\(a^2\)倍に。すなわち，標準偏差は\(|a|\)倍に。ゆえに，標準偏差を\(\sigma\)から1に\(\dfrac{1}{\sigma}\)倍するには，\(\sigma\)で割る！

（元々\(\sigma\)は正だから絶対値のプラマイは深く考えなくてOK。）

連続的な値をとる確率変数 \( X \) を連続型確率変数といい，飛び飛びの値をとる確率変数 \( X \) を離散型確率変数という。 連続型確率変数 \( X \) が \( a \) 以上 \( b \) 以下の値をとる確率を \( P(a \leqq X \leqq b) \) で表す。 \( a \leqq X \leqq b \) の範囲にある連続的な確率変数 \( X \) について，次の性質の関数 \( f(x) \) を対応させる。

[1] \( f(x) \class{mathkuu}{\underline{\geqq}} 0 \)

[2] 確率 \( P(a \leqq X \leqq b) \) は， \[ P(a \leqq X \leqq b) = \class{mathkuu}{\underline{\int_a^b f(x) \, dx}} \] この関数 \( f(x) \) を \( X \) の確率密度関数，曲線 \( y = f(x) \) を分布曲線という。 連続的な確率変数 \( X \) のとり得る値の範囲が \( \alpha \leqq X \leqq \beta \) のとき， \[ P(\alpha \leqq X \leqq \beta) = \int_\alpha^\beta f(x) \, dx = \class{mathkuu}{\underline{1}} \] \[ P(X = a) = \class{mathkuu}{\underline{0}}\ \ \left( \because \ \ =\int_a^a f(x) \, dx \right) \] \(P(X = a) = 0\)より，具体的な数値で例を挙げると，\(P\left( X = \frac{3}{2}\right) = 0\) であるから， \[P\left( \frac{1}{2} \leqq X < \frac{3}{2}\right) = P\left( \frac{1}{2} \leqq X \leqq \frac{3}{2}\right)\] のように等号の有無で値は変わらない。

（高校数学においては区間の端における微積分はあまり深く考えなくてよい。）

確率変数を \( X (\alpha \leqq X \leqq \beta) \)，その確率密度関数を \( f(x) \) とすると， \[ \begin{aligned} \text{期待値} \quad E(X) &= \class{mathkuu}{\underline{\int_{\alpha}^{\beta} x f(x) \, dx}} \quad (= m) \\ \text{分散} \quad V(X) &= \class{mathkuu}{\underline{\int_{\alpha}^{\beta} (x - m)^2 f(x) \, dx}} \\ \text{標準偏差} \quad \sigma(X) &= \class{mathkuu}{\underline{\sqrt{V(X)}}} \end{aligned} \] ※\(V(X)\)を計算すると， \[ \begin{aligned} V(X)&= \int_{\alpha}^{\beta} (x - m)^2 f(x) \, dx\\ &= \int_{\alpha}^{\beta} x^2 f(x) \, dx - 2m{\color{red}{\int_{\alpha}^{\beta} x f(x) \, dx}}\\ &\qquad +m^2{\color{blue}{\int_{\alpha}^{\beta} f(x) \, dx}}\\ &= \class{mathkuu}{\underline{\int_{\alpha}^{\beta} x^2 f(x) \, dx -m^2}} \end{aligned} \] \(\because\) 期待値の式より \({\color{red}{\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} x f(x) \, dx}} = m\)，かつ \({\color{blue}{\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} f(x) \, dx}}=1\) と整理することもできる。つまり，分散公式②「（2乗の平均）-（平均の2乗）」が成り立つ！

正規分布表に載っているのは「\(0\)から\(z\)まで」の面積だけ。そこで，欲しい面積を表に載っている形の足し引きで作る。使う道具は\(3\)つ。 ① 全体の面積は\(1\)，左右対称だから片側は\(0.5\)。この\(0.5\)が計算の出発点になることが非常に多い。

② 技1：くり抜き\(\cdots\)「\(0.5\)」や「\(0\)から\(b\)まで」といった大きい面積から，いらない部分を引く。\(z\)より右側の確率なら\(0.5-(\text{表の値})\)。

③ 技2：折り返し\(\cdots\)負の側は，対称性を使って正の側に折り返す。\(P(-a\leqq Z\leqq 0)=P(0\leqq Z\leqq a)\)なので，表にない負の値もそのまま読める。

・標本調査

統計調査には，調査の対象全体をもれなく調べる全数調査と，対象全体から一部を抜き出して調べ，それから全体を推測する標本調査の2通りの方法がある。 ・母集団と標本

標本調査では，調査の対象全体を母集団といい，調査のために母集団から抜き出された要素の全体を標本といい，標本を抜き出すことを抽出といい，母集団，標本に含まれる要素の個数を，それぞれ母集団の大きさ，標本の大きさという。 ・無作為抽出と無作為標本

母集団の特徴を正しく推測するためには，標本にかたよりがなく，確率的にみて公平な抽出をしなければならない。そのために，乱数賽（特定なさいころ），乱数表，コンピュータで発生させた乱数を利用する。このような抽出方法を無作為抽出（または任意抽出）といい，無作為抽出によって選ばれた標本を無作為標本という。 ・復元抽出と非復元抽出

母集団から標本を抽出するとき，抽出のたびに要素をもとに戻し，あらためて次を抽出する方法を復元抽出という。一方，もとに戻さないで，続けて抽出する方法を非復元抽出という。 母集団から抽出された大きさ\(n\)の無作為標本 \((X_1, X_2, \ldots, X_n)\) が，復元抽出によって得られたものであれば，\(X_1, X_2, \ldots, X_n\) は独立である。また，非復元抽出によるものであれば，\(X_1, X_2, \ldots, X_n\) は独立ではない。 ただし，母集団の要素の数がきわめて大きいときには，非復元抽出でも，\(X_1, X_2, \ldots, X_n\) が独立であるとみなしてよいことが知られている。 ・母平均と標本平均

母集団分布においての平均を母平均，標準偏差を母標準偏差という。 母平均\(m\)，母標準偏差\(\sigma\)の母集団から大きさ\(n\)の無作為標本 \((X_1, X_2, \ldots, X_n)\)を抽出するとき，\(\dfrac{1}{n}(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)\)を標本平均といい，\(\overline{X}\)で表す。

母平均 \( m \)，母標準偏差 \( \sigma \) の母集団から大きさ \( n \) の無作為標本を抽出するとき，標本平均 \( \overline{X} \) の期待値と標準偏差は \[ \begin{aligned} E(\overline{X}) &= \class{mathkuu}{\underline{m}}\\ V(\overline{X}) &= \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{\sigma ^2}{n}}}\\ \sigma(\overline{X}) &= \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}} \end{aligned} \] ※標本分散は，母分散の\(\dfrac{1}{n}\)倍（\(n\)は標本の大きさ）が覚えやすい。

※標本平均の平均ってなんだ？とおもうが，標本もとるごとに毎回平均が異なる，「確率変数」であるから，その期待値のこと。「標本平均の平均」より，「標本平均の期待値」と認識しよう。

母平均 \( m \) の母集団から，大きさ \( n \) の標本を無作為抽出するとき，\( n \) を大きくしていくと，標本平均 \( \overline{X} \) は(母平均) \( m \) に近づく。

母平均 \( m \)，母標準偏差 \( \sigma \) の母集団から大きさ \( n \) の無作為標本を抽出するとき，標本平均 \( \overline{X} \) は，\( n \) が大きいとき，母集団分布が正規分布でなくても！近似的に\(\class{mathkuu}{\underline{正規}}\)分布 \( \class{mathkuu}{\underline{N}}\left( \class{mathkuu}{\underline{m}}, \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{\sigma^2}{n}}} \right) \) に従うとみなせる。（すごい事実。イメージはPoint8.6.5参照。） この事実を中心極限定理という。高校では証明はせず，認めて使う（大学で学ぶ）。名前を知らなくても解けるが，推定・検定がすべてこの定理の上に乗っていることは意識しておこう。

上のことから，標本平均 \( \overline{X} \) について，\( n \) が大きいとき，\( Z = \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{\overline{X} - m}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}}} \) とすれば，ほぼ標準正規分布 \( N(0, 1) \) とみなすことができ，標本平均を標準化できる。

与えられた標本から，母集団の平均や標準偏差など母集団の分布がもつ定数の値を推測することを推定という。 標本の大きさ \( n \) が大きいとき、(←「標本平均は正規分布に従うとみなせるよ」という意味)

母平均 \( m \)に対する信頼度95%の信頼区間は，標本平均 \( \overline{X} \) ，母標準偏差 \( \sigma \)とすると， \[ \left[ \class{mathkuu}{\underline{\overline{X} - 1.96 \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}}, \quad \class{mathkuu}{\underline{\overline{X} + 1.96 \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}} \right] \] 信頼度99%の信頼区間は \[ \left[ \class{mathkuu}{\underline{\overline{X} - 2.58 \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}}, \quad \class{mathkuu}{\underline{\overline{X} + 2.58 \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}} \right] \]

標本の大きさ \( n \) が大きいとき，標本比率を \( R \) とすると，

母比率 \( p \) に対する信頼度95%の信頼区間は \[ \left[ \class{mathkuu}{\underline{R - 1.96 \cdot\sqrt{\dfrac{R(1 - R)}{n}}}}, \quad \class{mathkuu}{\underline{R + 1.96 \cdot\sqrt{\dfrac{R(1 - R)}{n}}}} \right] \]

母比率 \( p \) の母集団から \( n \) 個取り出して標本をつくるとき，求める性質をもつ個数を \( X \) とすると \( X \) は二項分布 \( B(n, p) \) に従うから， \[ E(X) = np, \qquad V(X) = np(1 - p) \] 標本比率は \( R = \dfrac{X}{n} \) であり \[ \begin{aligned} E\left( \dfrac{X}{n} \right) &= \dfrac{1}{n} E(X) = \dfrac{1}{n} \cdot np = p\\ V\left( \dfrac{X}{n} \right) &= \dfrac{1}{n^2} V(X) = \dfrac{p(1 - p)}{n} \end{aligned} \] \( n \) が十分に大きいとき，\( B(n, p) \) は近似的に \( N(np, np(1 - p)) \) に従うので，\( R = \dfrac{X}{n} \) は，\( N\left( p, \dfrac{p(1 - p)}{n} \right) \) に従う。

そしてさらに\( n \) が十分に大きいとき，標本比率 \(R\) は母比率 \(p\) に近いとみなしてよいことが知られている。よって，信頼度95% の信頼区間は， \[ P\left(R-1.96\times \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\leqq p\leqq R+1.96\times \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)=0.95 \] の不等式部分において\(p\)を\(R\)に置き換えれば推定の信頼区間の式が得られる。

STEP1. 帰無仮説と対立仮説を立てる ・帰無仮説：確かめたいことを否定する内容 ・対立仮説：確かめたい内容 STEP2. 帰無仮説を前提として確率を計算し，棄却域を求める。 STEP3. 有意水準と確率を比較して判断する

確率 \(\leqq\) 有意水準 なら帰無仮説を棄却して対立仮説が残る

確率 \(>\)有意水準 なら帰無仮説は棄却されずにどちらも残る

標本の大きさ\(n\)が大きいとき，母標準偏差\(\sigma\)を標本の標準偏差\(s\)でおき換えても大きな違いは生じないため，棄却域は，\(|\overline{X}-m|>\class{mathkuu}{\underline{1.96\times \dfrac{s}{\sqrt{n}}}}\)を満たす範囲と考えることができる。