8. 確率分布と統計

統計確率の分野では，期待値=平均と認識せよ！

→そうすればあらゆる公式が数Ⅰのデータの分析と対応する！ 例：上の分散公式について

①は「偏差の2乗の期待値」，②は「(2乗の期待値)-(期待値の2乗)」

であるから，期待値をすべて平均と言い換えればデータの分析の分散公式と全く同じ！

これが分かれば新しく覚えることはない！ また，データの分析同様，分散公式①で求める際に確率分布の\(X\)と\(P\)の段の間に\((X-m)^2\)の段を用意したり，分散公式②で求める際に\(X\)と\(P\)の段の間に\(X^2\)の段を用意すると間違えずに計算しやすい。

※「さいころの出る目を\(X\)」だと，結果が\(6\)状態で\(2\)状態ではないから二項分布にならない。

※確率統計の問題では，これは何の問題・・・？どの考え方，公式を使うの・・・？を判断するのが難しい。サイコロやコイン以外もあるが，この2つが来た時には特に二項分布かな？じゃあ二項分布のポイントを使っていこう！という発想をまずはしてみよう。

\(X\)が正規分布\(N(m,\ \sigma ^{2})\)に従う確率変数であるとき， \[ \text{期待値（平均）}E(X)=\class{mathkuu}{\underline{m}} \qquad \text{標準偏差}\sigma(X)=\class{mathkuu}{\underline{\sigma}} \]

放物線で考えるともっとわかりやすい。例えば，頂点の位置が\((2,\ 0)\)で，\(x^2\)の係数が\(\dfrac{1}{5}\)と少し太めの形をした\(y=\dfrac{1}{5}(x-2)^2\)を，放物線の中で最も「標準」と言える\(y=x^2\)に変えることを考えよう。頂点の位置を\((2,\ 0)\)から\((0,\ 0)\)に変え，放物線の形を表す\(x^2\)の係数\(\dfrac{1}{5}\)を\(1\)に変えたい。（拡大・縮小はあまり高校で扱わないので少し難しいが，）\(x\)を\(Z=\dfrac{x-2}{\sqrt{5}}\)と置き換えれば，元の式は\(y=Z^2\)となる。これが標準化である。 同様に正規分布においても，色々な山の位置やグラフの形（変曲点の位置）をしているものを標準的な，「山の位置が0で形を表す標準偏差が1」である標準正規分布に変換する。なぜその必要があるかと言うと，「ここからここまでの確率はいくつです」という数値をまとめた表を色々な山の位置・形をした全ての正規分布において用意するのは現実的でないからである。「標準正規分布だったらここからここまでの確率がいくつだよ」という基本の表だけ準備しておけば，どんな正規分布が来ても標準化して帰着させることで対応ができる。

直線が「通る点（位置）」と「傾き（形）」で描ける（式が決まる）ように、放物線が「頂点（位置）」と「\( x^2 \) の係数（形）」で描ける（式が決まる）ように、正規分布も「平均値（位置）」と「標準偏差（形）」で描ける。

母集団が正規分布の場合，標本平均 \( \overline{X} \) の分布は \(n\)の大きさに関わらず正確に 正規分布 \( \class{mathkuu}{\underline{N}}\left( \class{mathkuu}{\underline{m}}, \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{\sigma^2}{n}}} \right) \) に従う。

導出

標本の大きさ \( n \) が大きいとき，\( Z \) の値がある範囲にある確率は，正規分布表から求めることができる。 たとえば，95% となる範囲は，\( P(|Z| \leqq 1.96) = 0.4750 \times 2 = 0.95 \)

\( Z \) は，\( Z = \dfrac{\overline{X} - m}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \) であるから，\( |Z| \leqq 1.96 \) は， が導かれる。信頼区間99% についても同様。区間を表すため，\([\ ,\ ]\)の書き方をすることが多いが，これは\(m\)の両端を表していることを忘れないように。

※この1.96は2に近い値であることを当たり前と思えるだろうか。Point8.4.2にあるように，任意の正規分布で，2\(\sigma\)の範囲にある確率は約95.45% (偏差値でいうと，\(2\sigma =20\)なので偏差値30〜70の確率)。であるから，2弱であるのは当然である。

母標準偏差\(\sigma\) の値は普通はわからないので，標本の大きさ \( n \) が大きいときには，\(\sigma\) を標本の標準偏差の値 \( s \) によって置き換えてもよく，次のことが知られている。

母平均 \( m \) に対する信頼度95%および99%の信頼区間は，標本の大きさ \( n \) が大きいとき，標本平均の値を \(\overline{X}\)，標本の標準偏差の値を \( s \) とすると， \[ \begin{aligned} 95\%\ &：\left[ \overline{X} - 1.96 \cdot \frac{{\color{blue}{s}}}{\sqrt{n}},\ \ \overline{X} + 1.96 \cdot \frac{{\color{blue}{s}}}{\sqrt{n}} \right]\\[2pt] 99\%\ &：\left[ \overline{X} - 2.58 \cdot \frac{{\color{blue}{s}}}{\sqrt{n}},\ \ \overline{X} + 2.58 \cdot \frac{{\color{blue}{s}}}{\sqrt{n}} \right] \end{aligned} \]

例題 ある工場の製品の不良品の割合は，従来\(10\%\)であるといわれていた。製品を\(900\)個調べたところ，不良品が\(111\)個あった。不良品の割合は従来と変わったといえるか。有意水準5%で検定せよ。

解 「変わったか」を調べるので両側検定を行う。帰無仮説を「不良品の割合は\(0.1\)である」とし，棄却域は\(|Z|\geqq 1.96\)とする。同じデータを，次の3通りの見方で検定できる。

(ii)の見方 不良品の個数\(X\)に着目する。帰無仮説のもとで\(X\)は二項分布\(B(900,\ 0.1)\)に従い \[ E(X)=900\times 0.1=90,\qquad \sqrt{V(X)}=\sqrt{900\times 0.1\times 0.9}=9 \] \(n\)が大きいので\(X\)は正規分布で近似できる。\(X=111\)のとき \[ Z=\dfrac{111-90}{9}=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{7}{3}}}=2.33\cdots \] (iii)の見方 不良品の標本比率\(R=\dfrac{X}{n}=\dfrac{111}{900}=\dfrac{37}{300}\)に着目する。帰無仮説のもとで \[ E(R)=0.1,\qquad \sqrt{V(R)}=\sqrt{\dfrac{0.1\times 0.9}{900}}=\dfrac{1}{100} \] であるから \[ Z=\dfrac{\dfrac{37}{300}-\dfrac{1}{10}}{\dfrac{1}{100}}=\dfrac{\dfrac{7}{300}}{\dfrac{1}{100}}=\dfrac{7}{3}=2.33\cdots \] (i)の見方 製品1個ごとに，不良品なら\(1\)，そうでなければ\(0\)をとる変数を考える。母集団の平均は\(m=0.1\)，標準偏差は\(\sigma=\sqrt{0.1\times 0.9}=0.3\)である。標本平均は\(\overline{X}=\dfrac{111}{900}=\dfrac{37}{300}\)（不良品の標本比率と一致する）で，\(n=900\)であるから \[ Z=\dfrac{\overline{X}-m}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\dfrac{\dfrac{37}{300}-\dfrac{1}{10}}{\dfrac{0.3}{30}}=\dfrac{7}{3}=2.33\cdots \] どの見方でも\(Z=2.33\cdots\)となり，\(|Z|\geqq 1.96\)を満たす。よって帰無仮説は棄却され，不良品の割合は従来と変わったといえる。

※両側検定では有意水準5%の棄却域を両側2.5%，2.5%に分配するが，片側検定では、片側のみ5%で棄却域を取るので，同じ有意水準の場合は片側検定のほうが棄却されやすくなる。

※両側検定にするか片側検定にするかは実験の目的に合わせて検定を行う前に決めておくべきで，両側検定をやってみて帰無仮説が棄却されないからといって、当初の実験計画から外れて片側検定をやる、というのは誤り。例えば臨床試験に関する原則として片側検定なら2.5%，両側検定なら5%で行うように定められていたりすることもある。

例題 ある工場の製品の不良品の割合は，従来\(10\%\)であるといわれていた。製品を\(900\)個調べたところ，不良品が\(106\)個あった。有意水準5%で，次の問いに答えよ。

(1) 不良品の割合は従来と変わったといえるか。

(2) 不良品の割合は従来より増えたといえるか。

解 不良品の個数を\(X\)とすると，帰無仮説「不良品の割合は\(0.1\)である」のもとで\(X\)は\(B(900,\ 0.1)\)に従い，\(E(X)=90\)，\(\sqrt{V(X)}=9\)である。標準化した値は\(Z=\dfrac{X-90}{9}\)で，\(X=106\)のとき\(Z=\dfrac{16}{9}\fallingdotseq 1.78\)である。

(1) 「変わったか」は両側検定であり，棄却域は\(|Z|\geqq 1.96\)。\(|Z|=1.78<1.96\)であるから棄却域に入らず，帰無仮説は棄却されない。よって，変わったとはいえない。

(2) 「増えたか」は片側検定（上側）であり，棄却域は\(Z\geqq 1.64\)。\(Z=1.78\geqq 1.64\)であるから棄却域に入り，帰無仮説は棄却される。よって，増えたといえる。

※同じデータでも，両側検定と片側検定で結論が分かれることがある。だからこそ，どちらを用いるかは検定の前に決めておく。