図形と方程式

まずは図をきれいに描く！　図を描く習慣をつけよう。 図から図形の特徴をつかむことが，解法選択の出発点。

そのうえで，使える解法は次の4つ。 ① まずは幾何！　（数学Ⅰの三角比と，主に数学Aの図形の知識）

 ・三角比 直角三角形の三角比・正弦定理・余弦定理

 ・相似・合同 意外と気づきにくいので頭の引き出しの手前に！

 ・図形の性質 チェバ・メネラウス，方べきの定理，中線定理，接弦定理 など

② 座標設定（図形と方程式（数Ⅱ）へ）

③ ベクトル（平面はもちろん，四面体や平行六面体など特に空間に強い）

④ 複素数平面（回転絡み）（履修者のみ）

まずは①幾何を考え，見通しが立たなければ②〜④を選択しよう！

① 幾何 多少発想や経験値が必要。手順が一定でない代わりに，ハマれば計算量が一気に減る。三角形が鋭角か鈍角か，そもそも三角形が成り立つかで式が変わる場面などもあり，場合分けの漏れにも注意が必要。

② 座標設定 座標を自分で設定することで，図形の方程式など代数に持っていく解法。計算量は多くなりがちだが，逆にいえば図に頼らず計算だけで押し切れるのが強み。直角の多い図形や，長さの関係式が与えられた問題で有力。中点や重心，直角の部分を原点に取ってみるなど，座標の取り方の工夫で計算量を減らせることも多い。

③ ベクトル 特に空間図形などでは標準的な手段。四面体・平行六面体などと相性がよく，計算量が少なく済むことも多い。各点の成り立ちなど，あらゆる条件をベクトルの式に書き換えられるようになると強みになる。

④ 複素数平面 主に回転がからむ問題で威力を発揮する。（履修者のみ）

A\((x_1, y_1)\)，B\((x_2, y_2)\)，C\((x_3, y_3)\)とする。

1. 2点A, B間の距離は， \[ \text{AB} = \class{mathkuu}{\underline{\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}} \] 特に，原点Oと点Aの距離は， \[ \text{OA} = \class{mathkuu}{\underline{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}}} \]
2. 線分ABを \(m:n\) に内分する点の座標は， \[ \hspace{-5mm}\left(\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{nx_1 + mx_2}{m+n},\ \dfrac{ny_1 + my_2}{m+n}}} \right) \] 線分ABを \(m:n\) に外分する点の座標は， \[ \hspace{-10mm}\left( \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{-nx_1 + mx_2}{m-n},\ \dfrac{-ny_1 + my_2}{m-n}}} \right) \] ※「\(m:(-n)(=(-m):n)\)に内分と同じ」
   
   と認識すればよい。
3. 線分ABの中点M，三角形ABCの重心Gの座標は， \[ M\left( \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{x_1 + x_2}{2},\ \dfrac{y_1 + y_2}{2}}} \right),\quad G\left( \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\ \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}}} \right) \]

点A\((a, b)\)に関して2点P\((x_1, y_1)\)，Q\((x_2, y_2)\)が対称 \(\iff\) Aは線分PQの中点 よって， \[ a = \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{x_1 + x_2}{2}}},\qquad b = \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{y_1 + y_2}{2}}}で立式！ \]

1. 点\((x_1, y_1)\)を通り，傾き\(m\)の直線の方程式 \[ \class{mathkuu}{\underline{y - y_1}} = \class{mathkuu}{\underline{m(x - x_1)}} \]
2. 異なる2点\((x_1, y_1)\)，\((x_2, y_2)\)を通る直線の方程式 \[ x_1 \mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} x_2\ のとき，\quad \class{mathkuu}{\underline{y - y_1 = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)}} \] \[ x_1 = x_2\ のとき，\quad \class{mathkuu}{\underline{x = x_1}} \]
3. \(x\)切片が\(a\)，\(y\)切片が\(b\)の直線の方程式 \[ \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1}} \]

※①は傾きの存在しない直線，すなわち\(x\)軸に垂直な直線は表せない。その場合は，\(x=\)の形で表す。

\(x, y\)の1次方程式 \(ax + by + c = 0\)（\(a \mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0\) または \(b \mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0\)）が表す図形は，つねに直線。

1. \(b \mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0\) のとき 傾き \(\class{mathkuu}{\underline{-\dfrac{a}{b}}}\)， \(y\)切片 \(\class{mathkuu}{\underline{-\dfrac{c}{b}}}\)
2. \(b = 0\) のとき \(x = \class{mathkuu}{\underline{-\dfrac{c}{a}}}\) （\(\class{mathkuu}{\underline{x}}\)軸に垂直な直線）

※一般形は表し方が一意でない（\(x+y-1=0\) と \(2x+2y-2=0\) など，係数比が同じであれば同じ直線）。

1. 平面上の2直線の位置関係は，「\(\class{mathkuu}{\underline{1点}}で\class{mathkuu}{\underline{交わる}}\)」「\(\class{mathkuu}{\underline{平行}}\)」「\(\class{mathkuu}{\underline{一致}}\)する」の3つのいずれか。
   
   これは，2直線の方程式を連立させた解と次のように対応する。
   
   \( \begin{cases} \text{1点で交わる} \iff \class{mathkuu}{\underline{ただ1組}}\text{の解をもつ} \\ \text{平行で一致しない} \iff \text{解を}\class{mathkuu}{\underline{もたない}} \\ \text{一致する} \iff \class{mathkuu}{\underline{無数}}\text{の解をもつ} \end{cases} \)
2. 2直線の平行条件・垂直条件
   • 2直線の方程式： \[ \left\{ \begin{array}{l} y = mx + n \\ y = m'x + n' \end{array} \right. \quad または \quad \left\{ \begin{array}{l} ax + by + c = 0 \\ a'x + b'y + c' = 0 \end{array} \right. のとき， \]
   • 平行：\(\class{mathkuu}{\underline{m}} = \class{mathkuu}{\underline{m'}}\)（傾きが等しい） または， \(a : a' = \class{mathkuu}{\underline{b}} : \class{mathkuu}{\underline{b'}}\)  \((\iff a : b =a' : b' )\)
   • 垂直：\(\class{mathkuu}{\underline{mm'}} = \class{mathkuu}{\underline{-1}}\)（傾きの積が \(-1\)） または， \(aa' + bb' = 0\)

※垂直条件 \(mm' = -1\) は両方の傾きが存在するときの話。\(x\)軸と\(y\)軸のように，一方が\(x\)軸に垂直な組合せは \(mm'=-1\) は用いることができない。その場合はシンプルに\(x=○\)や\(y=△\)。

一般形の \(aa'+bb'=0\) ならこの場合も込みで使えるが，これはベクトルの章で法線ベクトルを学習した後でよい。

※（ベクトル既習者へ）ここでの平行・垂直は，ベクトルの平行条件（Point9.3.4）・垂直条件（Point9.3.5）と同じ話。とくに \(aa'+bb'=0\) は，2直線の法線ベクトルどうしの内積が\(0\)であることを言っている。

点\((x_1, y_1)\)を通り，直線 \(ax + by + c = 0\) に

1. 平行な直線 \(\class{mathkuu}{\underline{a(x - x_1) + b(y - y_1) = 0}}\)
2. 垂直な直線 \(\class{mathkuu}{\underline{b(x - x_1) - a(y - y_1) = 0}}\)

※例：点\((3, -2)\)を通り \(3x - 4y + 1 = 0\) に平行な直線は \(3(x-3) - 4(y+2) = 0\)，垂直な直線は \(-4(x-3) - 3(y+2) = 0\)。

※原点O，A\((a,b)\)のとき，直線OAに垂直な直線OBを作るには，例えばBはAの座標を入れ替えて片方にマイナスをしたB\((b,-a)\)(\((-b,a)\)も可)を取ればよい。この感覚は持っておくと便利。

※（ベクトル既習者へ）平行の式は，\((a,\ b)\) を法線ベクトルとみた直線のベクトル方程式そのもの（Point9.6.3）。垂直の式は，\((a,\ b)\) に垂直なベクトル \((b,\ -a)\) を法線にとったもので，この作り方はPoint9.3.6にまとめている。

\(f(x,\ y) = ax+by+c\)，\(g(x,\ y) = a'x+b'y+c'\) とする。

2直線 \(f(x,\ y)=0\)，\(g(x,\ y)=0\) が交わっているとき，2直線の交点を通る直線ときたら・・・ ※詳しい理由と例題は，EX「直線・曲線を数式で扱う」にまとめている。

線分ABの垂直二等分線ときたら・・・その直線は， \( \begin{cases} \text{線分ABの}\class{mathkuu}{\underline{中点}}\text{を通る} \\ \text{直線ABと}\class{mathkuu}{\underline{垂直}}\text{に交わる} \end{cases} \)

直線\(\ell\)に関して点Aと対称な点Bときたら・・・ \( \begin{cases} \text{線分ABの}\class{mathkuu}{\underline{中点}}\text{が}\ \class{mathkuu}{\underline{\ell}}\ \text{上} \\ \text{直線ABと}\ \ell\ が\class{mathkuu}{\underline{垂直}} \end{cases} \) ※どちらも条件が2つ。1つでは点や直線は決まらないので，2式立てて連立するのが定石。

点\((x_1, y_1)\)と直線 \(ax + by + c = 0\) の距離\(d\)は， \[ d = \dfrac{\class{mathkuu}{\underline{|ax_1 + by_1 + c|}}}{\class{mathkuu}{\underline{\sqrt{a^2 + b^2}}}} \] ※これは \(a, b\) の一方が0の場合も成り立つ ※成り立ち 点Pと直線を，Pが原点に来るように平行移動する（\(x\)方向に\(-x_1\)，\(y\)方向に\(-y_1\)）。距離は変わらないので，あとは原点と直線の距離を求めればよく，移動後の直線 \(a(x+x_1)+b(y+y_1)+c=0\) すなわち \(ax+by+(ax_1+by_1+c)=0\) に対して，原点から下ろした垂線の足を求めればよい。

流れとしては，原点を通りこの直線に垂直な直線が，Point2.3.6を使えば \(bx-ay=0\) と一発で書ける。これと移動後の直線を連立して垂線の足Hの座標を出し，OHの長さを計算すると上の式になる。

※（ベクトル既習者へ）\((a, b)\) は直線の法線ベクトルで，この距離は正射影ベクトルの長さそのもの（Point9.3.8）。

原点O，A\((x_1, y_1)\)，B\((x_2, y_2)\)を頂点とする\(\triangle\)OABの面積\(S\)は， \[ S = \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{2}\left| x_1y_2 - x_2y_1 \right|}} \] ※「底辺\(\times\)高さ\(\div 2\)」で，底辺\(=\)OA，高さ\(=\)Bと直線OAの距離，として計算しても同じ式にたどり着く。普段は上の公式，導出せよと言われたらこちら。（ベクトルを使うと導出がとても楽。Point9.3.11）

図形の問題を座標で処理すると決めたら・・・

\(\Longrightarrow\)賢い置き方を選べ！ 具体的には，

1. 直角のある頂点を原点に，2辺を\(x\)軸・\(y\)軸に。
2. 対称な図形は，対称軸を\(y\)軸に（\(\text{B}(-c, 0)\)，\(\text{C}(c, 0)\) のように置ける）。
3. 線分の中点や重心を原点に。

中心\((a, b)\)，半径\(r\)の円の方程式 \[ \class{mathkuu}{\underline{(x - a)^2 + (y - b)^2}} = \class{mathkuu}{\underline{r^2}} \] とくに，原点が中心，半径\(r\)の円の方程式 \[ \class{mathkuu}{\underline{x^2 + y^2}} = \class{mathkuu}{\underline{r^2}} \] ※式の正体は「中心からの距離が\(r\)」。\(\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} = r\) の両辺を2乗しただけ。

方程式 \(x^2 + y^2 + \ell x + m y + n = 0\) は，\(x, y\)それぞれについて平方完成すると \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = k \] の形に変形できる。このとき表す図形は，

1. \(k > 0\) のとき 中心\((a, b)\)，半径\(\class{mathkuu}{\underline{\sqrt{k}}}\) の円
2. \(k = 0\) のとき 点 \((a, b)\) を表す
3. \(k < 0\) のとき そのような図形は存在しない（\(\because\) (実数)\(^2 \geqq 0\)）

3点を通る円ときたら・・・

円と直線の共有点の個数・位置関係ときたら・・・

\(\Longrightarrow\)まず「直線の，円の中心からの距離 \(d\)」と「半径 \(r\)」を比べよ！ \(\Longrightarrow\)それでも判別式が要るのは次の場面など。

• 共有点の座標（接点）まで求めなければならない
• 円ではない曲線（放物線など）との共有点で，距離の議論が使えない

※判別式で考える場合は，2式を連立して1文字（たとえば\(y\)）を消去して得られる2次方程式の実数解の個数が共有点の個数と一致するので，\(D>0, D=0, D<0\) がそれぞれ (i)(ii)(iii) に対応する。

※ただしこの言いかえには落とし穴がある。\(y\)を消去して\(x\)の方程式に（逆も然り）できるのは，直線の式の\(y\)に係数があり\(y\)の項が存在する，すなわち直線が\(x\)軸に垂直でないときだけ。\(x\)軸に垂直な直線（\(x=k\)型）は，交わっていても2つの共有点の\(x\)座標が同じなので，\(x\)の方程式で見ると重解のように見えてしまう。場合分けなどで対応しよう。

弦の長さときたら・・・

全体像の通り，まずは幾何！中心から垂線！ 中心から弦に下ろした垂線は弦を2等分する。「中心・弦の中点・弦の端点」で直角三角形を作れば，三平方の定理だけで出る。 ※共有点の座標を実際に求めて2点間距離を計算するのは，たいてい遠回り。

1. 円 \(x^2 + y^2 = r^2\) 上の点\((x_1, y_1)\)における接線の方程式 \[ \class{mathkuu}{\underline{x_1x + y_1y}} = \class{mathkuu}{\underline{r^2}} \]
0. ② 円 \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\) 上の点\((x_1, y_1)\)における接線の方程式 \[ \class{mathkuu}{\underline{(x_1-a)(x-a) + (y_1-b)(y-b)}} = \class{mathkuu}{\underline{r^2}} \]

円の外部の点Aを通る接線ときたら・・・立式は3通り。基本は接点おけ！

1. 接点を\((x_1, y_1)\)とおき，前のPointの接線公式①や②が点Aを通るとする。
   
   \(\to\) 接点も問われているならこれ（\(x_1^2+y_1^2=r^2\) と連立）。
2. 傾きを\(m\)とおいて \(y = m(x - p) + q\) とし，中心との距離 \(= r\)。
   
   \(\to\) 接線の方程式だけでよいならこれが速い。
3. 傾きを\(m\)とおき，円の式に代入して判別式 \(D = 0\)。
   
   \(\to\) 計算量は多め。②が使えるなら②へ。

2円の位置関係ときたら・・・

\(\Longrightarrow\)「中心と中心の距離 \(d\)」と「半径の和・差」を比べよ！ 半径 \(r\)，\(r'\) の2円の中心間の距離を \(d\) とすると， ※\(|r-r'|\) と絶対値を付けておけば，どちらの半径が大きいかわからなくてもそのまま使える。\(r \geqq r'\) が確定しているなら \(r - r'\) でよい。

\(f(x,\ y) = x^2+y^2+\ell x+my+n\)，\(g(x,\ y) = x^2+y^2+\ell' x+m'y+n'\) とする。

2円 \(f(x,\ y)=0\)，\(g(x,\ y)=0\) が2点で交わっているとき，2円の交点を通る図形ときたら・・・

1. \(k \mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} -1\) のとき \(x^2, y^2\) の項が残るので，2つの交点を通る円を表す。
2. \(k = -1\) のとき \(x^2, y^2\) が消えて，2つの交点を通る直線を表す。

\(xy\)平面上の2曲線 \[C : f(x,\ y)=0，\qquad D : g(x,\ y)=0\] が共有点をもつとき，\(k,\ l\)を実数として \[E : \class{mathkuu}{\underline{k\cdot f(x,\ y)+l\cdot g(x,\ y)=0}}\] で表される図形\(E\)は，\(C\)と\(D\)のすべての共有点を通る。 実際には， \[E : \class{mathkuu}{\underline{k\cdot f(x,\ y)+g(x,\ y)=0}}\] と，\(l=1\)とした形で事足りることが多く，そう習うことが多い。違いは，この簡略化した式では \[\class{mathkuu}{\underline{f(x,\ y)=0}}\ という図形を表せない\] ことである。 ※詳しい理由（なぜ束の原理が成り立つのか，係数を\(1\)としてよい場合）と例題は，EX「直線・曲線を数式で扱う」にまとめている。

1. 定点Cから一定の距離\(r\)にある点の軌跡は，点Cを中心とする半径\(r\)の円。
2. 定直線\(\ell\)への距離が一定の値\(h\)である点の軌跡は，\(\ell\)から\(h\)の距離にある2直線。
3. 2定点A, Bから等距離にある点の軌跡は，線分ABの垂直二等分線。
4. 定角\(\angle\)AOBの内部にあり，角の2辺への距離が等しい点の軌跡は，\(\angle\)AOBの2等分線。
5. 線分ABに対して，\(\angle \text{APB} = 90^\circ\) である点Pの軌跡は，線分ABを\(\class{mathkuu}{\underline{直径}}\)とする円（ただし，2点A, Bを除く）。
6. 2定点A, Bからの距離の比が \(m:n\)（\(m \mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} n\)）である点の軌跡は，線分ABを\(m:n\)に\(\class{mathkuu}{\underline{内分}}\)する点と\(\class{mathkuu}{\underline{外分}}\)する点を\(\class{mathkuu}{\underline{直径の両端}}\)とする円。
   ※アポロニウスの円という。※\(m = n\) のときは，③へ

軌跡と領域の問題ときたら\(\cdots\)

まずは幾何的に考える！

→無理なら代数的に解く 代数による解法の順序は， 1. 求める軌跡上の点を\((X,\ Y)\)とおく。 2. 条件を数式化する。 3. \(X\)と\(Y\)だけの関係式を導く（範囲も確認忘れず）。

1. 直線で分けられる領域
   
   不等式 \(y > mx + n\) の表す領域は，直線 \(y = mx + n\) の上側（上 or 下）
   
   不等式 \(y < mx + n\) の表す領域は，直線 \(y = mx + n\) の下側（上 or 下）
2. 円周で分けられる領域
   
   不等式 \((x - a)^2 + (y - b)^2 < r^2\) の表す領域は，円 \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\) の内部
   
   不等式 \((x - a)^2 + (y - b)^2 > r^2\) の表す領域は，円 \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\) の外部

※\(\geqq\)，\(\leqq\) の場合は境界線を含む。答案では「境界線を含む／含まない」を必ず明記すること。

1. \(f(x, y) > 0\) や \(f(x, y) \leqq 0\) などの不等式を満たす点 \((x, y)\) 全体の集合を、この不等式の表す領域という。
2. 不等式 \(f(x, y) > 0\) の表す領域を正領域、 不等式 \(f(x, y) < 0\) の表す領域を負領域、 方程式 \(f(x, y) = 0\) の表す曲線を境界線という。
3. 【これが便利】正領域と負領域は境界線を越えると符号が入れかわる。つまり交互に現れる！

図示できる2変数関数の最大最小ときたら\(\cdots\)

→\(=k\)とおいて，領域と共有点をもつ\(k\)の範囲を調べよ！ ※主に（1次式）=kとおくものを線形計画法といい，逆像法の一種。

※\(2\)変数関数の最大最小の全体像（消去・置換・逆像法・予選決勝法など）と例題は，EX「最大最小」にまとめている。

「すべて図示できる， \(p \Longrightarrow q\) を示せ」ときたら・・・

→領域の包含関係に読みかえよ！ 条件\(p\)を満たす点全体の集合を\(P\)，条件\(q\)を満たす点全体の集合を\(Q\)とすると， \[ \text{「}p \Longrightarrow q\text{ が真」} \iff \class{mathkuu}{\underline{P \subset Q}} \] ※これは数学Ⅰの命題と集合の話そのもの（高校数学の俯瞰 ⅠA「命題と条件，条件と集合」）。「\(p \Longrightarrow q\) が真」\(\iff\)「\(P \subset Q\)」という対応を，\(x, y\)の不等式の場面で使っているだけ。「ならばならばは，内から外へ」（高校数学の俯瞰 ⅠA）も同じことを言っている。

直線に限らず，一般の曲線 \(y = f(x)\) についても同じことが成り立つ。

1. 不等式 \(y > f(x)\) の表す領域は，曲線 \(y = f(x)\) の上側
2. 不等式 \(y < f(x)\) の表す領域は，曲線 \(y = f(x)\) の下側

パラメータを含む直線や曲線が動いてできる領域ときたら\(\cdots\)

→（求める答えの領域内の点\((x,\ y)\)などとおき，）そのパラメータが存在する条件に読みかえよ！

パラメータである\(a\)や\(t\)などが，定義された範囲で実数解をもつこと，で解けることが多い。パラメータの2次方程式に持ち込んで判別式（・軸・端点）と解の配置問題に帰着することが多い。 ※順像法と逆像法の考え方の違い，通過領域の解法と例題は，EX「最大最小」や「軌跡と領域」にまとめている。

軌跡や領域の問題では，条件を式に翻訳して変形する場面が続く。このとき式変形の前後で条件が同じ範囲を表しているかを意識しないと，答えに余計な点が混ざったり，逆に必要な点が抜け落ちたりする。これを最後に逆の確認を行うことで防いでいる。難しいが，同値変形が正しく行われているのであれば確認の必要はない。 特に注意したいのは次の場面。

• 両辺を2乗する \(\cdots\) 符号の情報が消える
• 分母をはらう\(\cdots\) 分母が\(0\)の場合が紛れ込む
• 代入して文字消去 \(\cdots\) 代入元の式を残さないと条件が減る
• 文字を置き換える\(\cdots\) 新しい文字の範囲チェックが要る

※これらを含む同値変形の全体像と例題は，EX「同値性」にまとめている。