4. 指数・対数関数

なぜ「\(\iff\)」で結べるのか 一般の関数\(f(x)\)では，\(f(p)=f(q) \iff p=q\) は成り立たない。 たとえば\(f(x)=x^2\)なら，\(f(-3)=f(3)=9\)なのに\(-3\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 3\)である。 「出てきた値が同じ」でも「入れた値が同じ」とは限らない。 ところが指数関数と対数関数は，グラフがつねに増加かつねに減少のどちらかなので， 異なる値を入れれば必ず異なる値が出てくる。 つまり入力と出力が1対1に対応している。だからこそ， \[a^p=a^q \ \Longrightarrow\ p=q,\qquad \log_a p=\log_a q \ \Longrightarrow\ p=q\] と中身だけを取り出して比較してよい。指数方程式・対数方程式が「底をそろえて中身を比べる」だけで解けるのは，この性質のおかげである。 ※対数のときは，そもそも\(\log\)の中身が正でなければ定義されないので，\(p>0,\ q>0\)が前提として必要になる。

\(a \mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0\)で、\(n\)が正の整数のとき \(a^0=\)1, \(a^{-n}=\)\(\dfrac{1}{a^n}\)

ただし、\(0^0,\: 0^{-1}, \cdots\)は定義しない。

\(a>0\)で、\(m,\ n\)が正の整数、\(r\)が正の有理数のとき、 \[ a^{\frac{m}{n}}=\class{mathkuu}{\underline{\sqrt[n]{a^m}}},\ \ \ a^{-r}=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{a^r} }} \]

ex.)  \((4の2乗根)=\class{mathkuu}{\underline{\pm 2}}\)  \((8の3乗根)=\class{mathkuu}{\underline{2,\: -1\pm \sqrt{3} i}}\)

ex.)  \((2乗根4)=\sqrt{4}=\class{mathkuu}{\underline{2}}\)  \((3乗根8)=\sqrt[3]{8}=\class{mathkuu}{\underline{2}}\)

※\(\sqrt{-3} \times \sqrt{-5}=\sqrt{(-3)(-5)}=\sqrt{15}\)は間違い。(累乗根の性質が成り立つのは正の数のとき\()\) 正しくは、 \(\sqrt{-3} \times \sqrt{-5}=\sqrt{3}i \times \sqrt{5}i=-\sqrt{15}\) \(\sqrt{-1}\)の形をみたらすぐに \(i\) に直そう。

例 \(4^x-3\cdot 2^{x+1}+8>0\) を解け。 ① 底をそろえる \(4^x=(2^2)^x=(2^x)^2\)，\(3\cdot 2^{x+1}=6\cdot 2^x\) だから \[(2^x)^2-6\cdot 2^x+8>0\] ② おきかえる \(2^x=t\) とおくと \(t>0\)（範囲check!!）。 \[t^2-6t+8>0 \iff (t-2)(t-4)>0 \iff t<2\ または\ t>4\] \(t>0\) とあわせて \(0<t<2\) または \(t>4\)。

③ 底が\(1\)より大か小かカクニン \(2^x<2^1\) または \(2^x>2^2\)。底 \(2\) は\(1\) より大きいので不等号の向きはそのままで

【証明】 \(\log_ab=x\)とおくと，対数の定義より\(a^x=b\)。

この両辺の底\(c\)の対数をとると，\(\log_c(a^x)=\log_cb\)，すなわち\(x\log_ca=\log_cb\)。

\(\log_ca\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}}0\)なので両辺を\(\log_ca\)で割って，\(x=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}\)。よって，\(\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}\)。（証明終）

なぜ「当たり前」なのか \(\log_■△\) という数は，そもそも「■ を何乗すると △ になるか」という問いの答えそのものである。 だとすれば，その回数だけ実際に ■ をかければ △ に戻るのは，言われてみれば当たり前である。 式で書けば，\(p=\log_■△\) とおくと対数の定義そのものから \(■^p=△\)。この \(p\) を \(\log_■△\) に戻しただけ。

例1 そのまま使う：\(2^{\log_2 5}=\class{mathkuu}{\underline{5}}\)

例2 底がそろっていないとき：\(4^{\log_2 3}\) \[4^{\log_2 3}=\left(2^2\right)^{\log_2 3}=\left(2^{\log_2 3}\right)^2=\class{mathkuu}{\underline{3^2=9}}\] 底を \(2\) にそろえてから使うのがコツ。

例　\((\log_2x)^2-\log_2x^3-4<0\) を解け。 まず真数条件より\(x>0\)。ここで\(\log_2 x=t\) とおくと，\(x\)は正の実数全体を動くので \(t\)は実数全体（ここが範囲check!!）。このとき \[t^2-3t-4<0 \iff (t+1)(t-4)<0 \iff \class{mathkuu}{\underline{-1<t<4}}\] \(t\)に制限がないので，この範囲がそのまま使える。\(-1<\log_2 x<4\) より 注意！この例では\(t\)が実数全体だったので楽だったが，\(t\)に範囲がつく場合は答えが変わる。 たとえば\(1\leqq x\leqq 8\)という条件が付いていれば\(0\leqq t\leqq 3\)となり，\(-1<t<4\)と重ねて\(0\leqq t\leqq 3\)， つまり\(1\leqq x\leqq 8\)が答えになる。

例）\(\log_x(6-x)<2\)を解け。

底の条件より\(x>0,\ x\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}}1\)，真数条件より\(6-x>0\)すなわち\(x<6\)。よって\(0<x<1,\ 1<x<6\)で場合分け。

\(2=\log_xx^2\)と変形すると，与式は \[\log_x(6-x)<\log_xx^2\] \(\log\)を外すときは，底が1より大きいか小さいかで不等号の向きが変わることに注意して，

(i) \(0<x<1\)のとき（今回は底が1より小さいので不等号の向きが逆転する）：\(6-x>x^2 \iff x^2+x-6<0 \iff -3<x<2\)。この範囲と\(0<x<1\)の共通部分で\(0<x<1\)。

(ii) \(1<x<6\)のとき（底が1より大きいのでそのまま）：\(6-x<x^2 \iff x^2+x-6>0 \iff x<-3\) または \(x>2\)。この範囲と\(1<x<6\)の共通部分で\(2<x<6\)。

以上より，\(0<x<1\)または\(2<x<6\)。

常用対数の整数部分がケタを決め，小数部分が最高位を決める \(N=3.2\times 10^{7}\) のとき，\(\log_{10}N=7+\log_{10}3.2=7.505\cdots\)。 ・整数部分の \(7\) … \(10^7\) 台ということ。よって \(8\) ケタ

・小数部分の \(0.505\cdots\) … これは \(\log_{10}3.2\) のこと。最高位が \(3\) であることを表す だからケタ数を聞かれたら，常用対数の整数部分，最高位を聞かれたら小数部分。 Point4.2.20 の①〜④は，すべてこの \(1\) 本の目盛りの言い換えにすぎない。

小数のときは「\(1\) の位の \(0\) も含めて，\(0\) が何個続くか」 \[\log_{10}0.1=-1,\qquad \log_{10}0.01=-2,\qquad \log_{10}0.001=-3\] 小数側も同じで，\(1\) の位の \(0\) から数えて \(0\) が何個続くかを整数部分が表している。 \(0\) が \(n\) 個なら整数部分は \(-n\) で，小数第 \(n\) 位から数字が始まる。 （\(0.01\) なら「\(\underline{0}.\underline{0}1\)」で \(0\) が \(2\) 個 \(\to\) 小数第 \(2\) 位から） 常用対数をとった値が \(-1.3\) のように中途半端なときは，小数部分が \(0\)〜\(1\) になるように分ける。 \[-1.3={\color{red}{-2}}+0.7\] と見ると，\(10^{-1.3}=10^{{\color{red}{-2}}}\times 10^{0.7}\)。\(10^{0.7}\fallingdotseq 5.0\) だから， 元の数は \(10^{-1.3}\fallingdotseq 0.050\)（\(0.05\) の常用対数が \(-1.3\) ということ）。 ・整数部分の \({\color{red}{-2}}\) … 小数第 \(\class{mathkuu}{\underline{2}}\) 位から数字が始まる

・小数部分の \(0.7\) … 最高位の数字が \(\class{mathkuu}{\underline{5}}\) であることを表す ※ ここでの「整数部分」は小数部分が \(0\) 以上 \(1\) 未満になるように取った側のこと。 \(-1.3\) を「\(-1\) と \(-0.3\)」と分けると合わなくなる。必ず \(-2\) の側で考える。

※いつ使えばいいかわからないですとよく言われるが，「最小(大)値を求めよ」や「とりうる値の範囲を求めよ」というワードで反応するとよい！特に分数関数の最大最小が出てきたら真っ先に候補にしたい（特に文系で有効。理系は微分してグラフでゴリ押しすることもできる）。相加相乗の立ち位置としては，最大最小問題で使える3つの有名不等式のうちの1つ！詳しくはEX「最大最小」の最大最小問題の全体像で。

例1（底をそろえる）　\(4^{10}\) と \(8^{7}\) の大小を比べよ。 底は\(4\)と\(8\)でそろっていないが，どちらも\(2\)の累乗なので底を\(2\)にそろえられる。 \[4^{10}=(2^2)^{10}=2^{\class{mathkuu}{\underline{20}}},\qquad 8^{7}=(2^3)^{7}=2^{\class{mathkuu}{\underline{21}}}\] 底\(2\)は\(1\)より大きく\(y=2^x\)は単調増加なので，指数の大小がそのまま大小になり，\(\class{mathkuu}{\underline{4^{10}<8^{7}}}\)。 例2（指数をそろえる）　\(\sqrt[3]{2}\) と \(\sqrt[4]{3}\) の大小を比べよ。 底が\(2\)と\(3\)なので，例1のように共通の底にそろえることはできない。そこで指数を分母の最小公倍数だけ（\(12\)乗）そろえる。 \[\left(\sqrt[3]{2}\right)^{12}=2^4=\class{mathkuu}{\underline{16}},\qquad \left(\sqrt[4]{3}\right)^{12}=3^3=\class{mathkuu}{\underline{27}}\] どちらも正なので\(12\)乗の大小がそのまま元の大小になり，\(\class{mathkuu}{\underline{\sqrt[3]{2}<\sqrt[4]{3}}}\)。 例3（両辺の対数をとる）　例2と同じ問題を対数で解く。底は計算しやすいものを選べばよいので，ここでは\(2\)にする（\(3\)でもよい）。 両辺の底\(2\)の対数をとると \[\log_2\sqrt[3]{2}=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{3}}},\qquad \log_2\sqrt[4]{3}=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{4}\log_2 3}}\] 分母をはらう（\(12\)倍する）と，比べるのは\(4\)と\(3\log_23=\log_2\class{mathkuu}{\underline{27}}\)。\(4=\log_2\class{mathkuu}{\underline{16}}\)なので\(16<27\)より後者が大きい。\(y=\log_2x\)は単調増加だから対数の大小がそのまま元の大小になり，\(\sqrt[3]{2}<\sqrt[4]{3}\)。例2と同じ「\(16\)と\(27\)」に行き着く。 肩に文字があるなど指数をそろえる手が使えないときは，こちらが本命。 ※なお例2は，4.2.14を使って無理やり底をそろえることもできる。\(3=2^{\log_23}\)より\(\sqrt[4]{3}=\left(2^{\log_23}\right)^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{\log_23}{4}}\)となり，底が\(2\)にそろうので指数どうしの比較に持ち込める。ただし結局は例3と同じ計算になるので，実戦でこの手順を踏むことはあまりない。

例 \(x^{\log_{10}x}=100x\) を解け（\(x>0\)）。 肩に文字があるので，両辺の常用対数をとる。 \[(\log_{10}x)^2=2+\log_{10}x\] \(\log_{10}x=t\) とおくと \(t^2-t-2=0\)，\((t-2)(t+1)=0\) より \(t=2,\ -1\)。 よって \(x=\class{mathkuu}{\underline{100,\ \dfrac{1}{10}}}\)。

なぜ絶対値が付くのか（証明） \(\log_a M^n=n\log_a M\) が使えるのは\(M>0\)のときだけ。\(x\)は負かもしれないので\(\log_2 x^2=2\log_2 x\)とは書けない。そこで中身を正のカタマリに置きかえてから公式を使う。 \[ \begin{aligned} \log_2 x^2 &= \log_2 |x|^2 &&(\because\ x^2=|x|^2)\\ &= 2\log_2 |x| &&(\because\ |x|>0\ \text{なので公式が使える}) \end{aligned} \] これだけである。\(x^2\)と\(|x|^2\)は同じ数なのに，\(\log\)の外に出すときは\(|x|\)のほうが「正であることが保証された形」なので，そちらを使う。 （\(x\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0\)のとき。\(x=0\)は真数条件から除かれる。）