三角関数

三角関数のコツは・・・

三角関数の式処理は，ほぼすべてこの\(2\)つ「相互関係」と「加法定理」から始まる。 【相互関係】

• ① \(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
• ② \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)
• ③ \(1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}\)

【加法定理】

• ① \(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\)
• ② \(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)
• ③ \(\tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\)

※\(2\)倍角・半角・\(3\)倍角・合成の公式は，すべてこの加法定理から導かれる（詳しくは後述）。

定義の見方は次の3つ。どれも同じことを言っているが，扱える\(\theta\)の範囲が①→②→③と広がっていく。 以下，原点をO，角\(\theta\)の動径と円の交点をP\((x,y)\)とする。 ① 直角三角形（図①）　\(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\) のときだけ使える，数Ⅰの定義。

② 単位円（図②）　原点Oを中心とする半径\(1\)の円を単位円という。\(r=1\) なので座標がそのまま値になる。

※\(\tan\theta\) は，動径OPを含む直線と直線\(\class{mathkuu}{\underline{x=1}}\)の交点の\(y\)座標としても読める。 ③ 一般角（図③）　半径\(r\)の円で考えれば，どんな角でもこの式で定義できる。

※③で\(r=1\)としたものが②，さらに\(\theta\)を鋭角に限ったものが①，という入れ子になっている。

【定義】　半径\(1\)，弧の長さが\(1\)の扇形の中心角を，\(1\)ラジアン（以下 rad）という。 その相似形である，半径\(r\)，弧の長さが\(r\)の扇形の中心角も\(1\) rad。 【度数法との対応】　単位円の円周の長さは\(2\pi\)だから，中心角\(360^{\circ}=\class{mathkuu}{\underline{2\pi}}\) [rad]。したがって

角\(\alpha\) の動径OPが表す一般角\(\theta\) は， \[\theta = \alpha + \class{mathkuu}{\underline{2n\pi}} \qquad (n\ は整数)\]

※これらの式は、問題文に書かれていなくても常に成り立っている隠れた条件であることに注意
※③は②の両辺を\(\cos^2\theta\)で割ったものなのですぐに導けるように
※③の式は，\(\tan^2\theta\)と\(\cos^2\theta\)は交換可能であると日本語で認識しておこう！
※\(\tan \theta\)は、\(\theta=\)\(\dfrac{\pi}{2}+n\pi\)(\(n\)は整数)で定義されない (\(\because \cos \theta=0, \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\))

これらの変換公式は，下のように認識してみよう。

※ 厳密には，第1象限の角に加えて \(0\)，\(\dfrac{\pi}{2}\) の角も含む。

※ 数Ⅱを習うことで忘れがちだが，\(\dfrac{\pi}{2}- \theta\)系は直角三角形を書けば一瞬。（数Ⅰの定義通り）

※ 最悪\(\tan \dfrac{\pi}{2}\)がでてくるもの以外は加法定理でも良いが，パッと図を描いて判断したい。

\(y=\tan \theta\)のグラフは，次の直線を漸近線にもつ。\(n\)を整数として， \[直線\ \theta=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{\pi}{2}+n\pi}}\] ※\(\sin\) と \(\cos\) は同じ形で，\(y=\cos\theta\) は \(y=\sin\theta\) を \(\theta\) 軸方向に \(\class{mathkuu}{\underline{-\dfrac{\pi}{2}}}\) だけ平行移動したもの （\(\cos\theta=\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)\)）。

以下の関数のグラフは，関数\(y=f(x)\)のグラフを，

1. \(y-q=f(x-p)\)：\(x\)軸方向に\(\class{mathkuu}{\underline{p}}\)，\(y\)軸方向に\(\class{mathkuu}{\underline{q}}\)だけ平行移動
2. \(-y=f(x)\: (y=-f(x))\)： \(x\)軸に関して対称移動
3. \(y=f(-x)：\ \)\(y\)軸に関して対称移動
4. \((y=-f(-x))：\ \)原点に関して対称移動

したグラフである。

また，関数\(y=f(x)\)が以下の条件を満たすとき，グラフは次の対称性をもつ。

したがって、 \(y=\sin \theta ,\ \ y=\tan \theta\)は奇関数、\(y=\cos \theta \)は偶関数 である。

（※\(x\)軸対称は，陰関数表示で\(f(x,-y)=f(x,y)\)とすれば表せるが今はわかりやすさ重視で割愛）

\(y=\sin \theta ,\ \ y=\cos \theta\)は、\(2\pi\)を周期とする周期関数であり、
\(y=\tan \theta\)は、\(\pi\)を周期とする周期関数である。 ※周期と言えば、正の周期のうち最小のものを意味するのが通例。

\(y=\sin\theta\)のグラフをどう動かすかで整理する。以下，●▲○△は定数を表す。 複合形 \(y=●\sin(▲\theta+○)+△\) は要注意！

→必ずまず \(\sin ▲\left( \theta+\dfrac{○}{▲}\right)\) と変形してから読む。

ある正の定数\(c\)が存在して，すべての\(x\)で \(\underline{\class{mathkuu}{\underline{f(x+c)}}=f(x)}\) が成り立つとき，\(f(x)\)を周期関数という。

• STEP 1：\(\theta\)の範囲check!!
• STEP 2：位相部分の範囲check!!
• STEP 3：\(\sin\) 　 ，\(\cos\) 　 ，\(\tan\) 　 \( \gtreqqless \) 　 などの形に変形し，単位円描いて求める！

三角関数ときたら・・・

角と種類をそろえたあと，似た形をおきかえて\(2\)次関数に帰着させるのが鉄板。 このように，置き換えた瞬間に「範囲あり\(2\)次関数の最大最小」という別のテーマに変わる。あとは数Ⅰで習ったとおり，平方完成→グラフ→\(t\)の範囲に注意，と進めればよい。 ※範囲チェックを忘れると，軸が範囲の外にあることに気づけない。おきかえは必ず範囲とセット。

\[ \begin{aligned} \sin(\alpha\pm\beta)&=\class{mathkuu}{\underline{\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta}},\\ %\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\ \cos(\alpha\pm\beta)&=\class{mathkuu}{\underline{\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta}},\\ %\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\\ \tan(\alpha\pm\beta)&=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}}} %\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} \end{aligned} \] ※\(\tan\)の分母は\(\cos\)由来だからプラマイ入れ替わる（\(\tan=\dfrac{\sin}{\cos}\)の分母側）

\[ \begin{aligned} \sin2\alpha&=\class{mathkuu}{\underline{2\sin\alpha\cos\alpha}}\\ \cos2\alpha&=\class{mathkuu}{\underline{\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha}} \quad &\text{・・・}①\\ &=\class{mathkuu}{\underline{2\cos^{2}\alpha-1}} &\text{・・・}②\\ &=\class{mathkuu}{\underline{1-2\sin^{2}\alpha}} &\text{・・・}③\\ \tan2\alpha&=\class{mathkuu}{\underline{\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}}} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \sin^{2}\dfrac{\alpha}{2}&=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}}}\\ \cos^{2}\dfrac{\alpha}{2}&=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1+\cos\alpha}{2}}}\\ \tan^{2}\dfrac{\alpha}{2}&=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}} \end{aligned} \] ※\(\tan\)は\(\tan^{2}\dfrac{\alpha}{2}=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{\sin^{2}\dfrac{\alpha}{2}}{\cos^{2}\dfrac{\alpha}{2}}}}\)から導出すればよい。

\(\sin^2 x,\ \sin x\cos x,\ \cos^2 x\) ばかりが並ぶ式を見たら\(\cdots\) →\(\sin,\ \cos\)の2次同次式だ！と反応し，半角（と\(2\)倍角）で次数を下げよ！ このトレードオフ（角度が\(2\)倍になる代わりに次数が下がる）が半角の公式の本質。 迷ったら次数を下げるのは三角関数に限らない発想で，Point1.1.1にもまとめている。

【和積】

• ① \(\sin{A}+\sin{B}=\class{mathkuu}{\underline{2 \sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}}}\)
• ② \(\sin{A}-\sin{B}=\class{mathkuu}{\underline{2 \cos\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}}}\)
• ③ \(\cos{A}+\cos{B}=\class{mathkuu}{\underline{2 \cos\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}}}\)
• ④ \(\cos{A}-\cos{B}=\class{mathkuu}{\underline{-2 \sin\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}}}\)

【積和】（和積で\(\dfrac{A+B}{2}=\alpha\)，\(\dfrac{A-B}{2}=\beta\)とおくと導ける）

• ①\('\) \(\sin\alpha\cos\beta=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{2}\{ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}}}\)
• ②\('\) \(\cos\alpha\sin\beta=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{2}\{ \sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}}}\)
• ③\('\) \(\cos\alpha\cos\beta=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{2}\{ \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}}}\)
• ④\('\) \(\sin\alpha\sin\beta=\class{mathkuu}{\underline{-\dfrac{1}{2}\{ \cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}}}\)

\(a,\ b\) は同時には\(0\)でないとし，角\(\alpha\)を下の\(2\)式を満たす角とすると，

ただし，角\(\alpha\)は \[\sin\alpha=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}},\quad \cos\alpha=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}}\] を満たす角。

覚える必要はない。単位円を描いて，\(y\)座標・\(x\)座標・傾きの符号をその場で読むだけでよい。

\(x,\ y\)の式で，\(x\)と\(y\)を入れかえても同じ式になるものを対称式という。対称式ときたら・・・

ex.) \[\begin{aligned} x^2+y^2&=(x+y)^2-2xy\\ x^3+y^3&=(x+y)(x^2-xy+y^2)\\ &=(x+y)^3-3xy(x+y) \end{aligned}\] ※3変数\(x, y, z\)の場合は、基本対称式\(x+y+z, xy+yz+zx, xyz\)で表す！

※対称式は，すべて基本対称式で表せることが知られている。

2直線のなす角 \(\theta\) は \(0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}\) の範囲で考えることが多く、この計算で\(\tan \theta < 0\)、すなわち、\(\dfrac{\pi}{2} < \theta \leqq \pi\) となる場合は、\(\class{mathkuu}{\underline{\pi - \theta}}\) を2直線のなす角とすればよい。

(ex. \(\tan \theta\) の計算結果が\(-\sqrt{3}\)なら，\(120^{\circ}\) ではなく\(60^{\circ}\) とする，など。) ※ 素直に \(\tan(\alpha-\beta)\) を計算し，負の値が出たら \(\pi\) から引くだけで鋭角が出るため，実戦において上の絶対値の公式を覚えていなくても困る場面は少ない。この手の問題は実際に問題集でいろいろ解いてるとよい。

\(\sin\)や\(\cos\)が式の中に入っていると難しく見えるが、恐れる必要はない。\(\sin\theta,\ \cos\theta\)は、「\(2\)乗の和が\(1\)になる、\(-1\)以上\(1\)以下のただの\(2\)つの実数」だと思えばよい。\(\tan\theta\)も同様に、ただのなんらかの実数だと考えればよい。

ただ、その実数値1つに対して\(\theta\)の値が無数に対応しているという点だけが、通常の文字と違うところ。