微分法(数Ⅲ)

\[f^{\prime}(a)=\class{mathkuu}{\underline{\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}}=\class{mathkuu}{\underline{\displaystyle\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}}\] ※閉区間で定義された関数について，区間の端における微分係数は考えない。

関数\(f(x)について，x=a\)における微分係数\(f^{\prime}(a)\)が存在するとき，

\(f(x)\)は\(\class{mathkuu}{\underline{x=a}}\)で　微分可能　であるという。

※連続と微分可能のわかりやすいイメージ：折れずに曲がるところは「連続かつ微分可能」，（絶対値のグラフなどのように）折れて曲がるところは「連続だが微分可能でない」！

※包含関係としては，(連続な関数)\(\supset\)(微分可能な関数)なので，微分可能\(\Longrightarrow\)連続

\[\{f(x)g(x)\}'=\class{mathkuu}{\underline{f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}}\] \[\left\{f(x)g(x)h(x)\right\}'=\class{mathkuu}{\underline{f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)}}\] ※「一つだけ微分したもの」を足していく。

\[\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^{2}}}}\] 特に，\(\left\{\dfrac{1}{g(x)}\right\}'=\class{mathkuu}{\underline{-\dfrac{g'(x)}{{\{g(x)\}}^{2}}}}\) ※下の式は，上の式で\(f(x)=1\)として導出してもよし，よく使うので覚えてもよし。

2つの関数\(y=f(u)\)，\(u=g(x)\)がともに微分可能ならば，合成関数\(y=f(g(x))\)も微分可能で，次の公式が成り立つ。 \[\dfrac{dy}{dx}=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{dy}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}}}\] また，普段の計算では下の形で用いることが多い。 \[\dfrac{d}{dx}f(g(x))=\class{mathkuu}{\underline{f^\prime (g(x))g^\prime (x)}}\]

関数\(y=f^{-1}(x)\)と\(x=f(y)\)がともに微分可能であるとき， \[\dfrac{dy}{dx}=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{\frac{dx}{dy}}}}\]

\[(\sin x)' = \class{mathkuu}{\underline{\cos x}}\qquad (\cos x)' = \class{mathkuu}{\underline{-\sin x}}\qquad (\tan x)' = \class{mathkuu}{\underline{\frac{1}{\cos ^{2}x}}}\]

\[e=\class{mathkuu}{\underline{\displaystyle\lim_{t\to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}}}\] ※\(e\)は無理数で，その値は，\(\class{mathkuu}{\underline{2}}.\class{mathkuu}{\underline{7}}18281828459045\cdots\cdots\)である。

※\(1^\infty\)(通常は不定形)の形をしていると認識しておくと覚えやすい。

1. \[{\displaystyle\lim_{x\to \class{mathkuu}{\underline{\pm\infty}}}\left( 1+\class{mathkuu}{\underline{\frac{1}{x}}} \right) ^x=\class{mathkuu}{\underline{e}}}\]
2. \[{\displaystyle\lim_{t\to \class{mathkuu}{\underline{0}}}\left( 1+t \right) ^{\frac{1}{t}}=e}\]
3. \[{\displaystyle\lim_{t\to \class{mathkuu}{\underline{0}}}\class{mathkuu}{\underline{\frac{\log (1+t)}{t}}}=\class{mathkuu}{\underline{1}}}\]
4. \[{\displaystyle\lim_{s\to \class{mathkuu}{\underline{0}}}\class{mathkuu}{\underline{\frac{e^s-1}{s}}}=\class{mathkuu}{\underline{1}}}\]

※①，②について，不定形\(1^\infty\)の一種と認識するとよい。

\[(\log{x})'=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{x}}}，\qquad (\log_{a}x)'=\class{mathkuu}{\underline{\frac{1}{x\log{a}}}}\] また， \[(\log|x|)'=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{x}}}，\qquad (\log_{a}|x|)'=\class{mathkuu}{\underline{\frac{1}{x\log{a}}}}\]

\(a>0\)，\(a\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 1\) のとき \((e^{x})'=\class{mathkuu}{\underline{e^{x}}}\)， \((a^{x})'=\class{mathkuu}{\underline{a^{x}\log{a}}}\)

肩の数に変数を含んだり，肩の数が複雑な式の場合は両辺の自然対数をとってから微分する対数微分法を用いると上手くいくことがある。

また，関数同士の\(\times\div\)などを\(\pm\)で扱えることも大きなメリットである。

一般に、関数 \( y = f(x) \) を \( n \) 回微分して得られる関数を、\( y = f(x) \) の第 \( n \) 次導関数 といい、記号で次のように表す。 \[ \class{mathkuu}{\underline{y^{(n)}}}, \quad f^{(n)}(x), \quad \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{d^n y}{dx^n}}}, \quad \dfrac{d^n}{dx^n} f(x) \] なお、\( y^{(1)}, \quad y^{(2)}, \quad y^{(3)} \) は、それぞれ \( y', \quad y'' \quad y''' \) を表す。

\( y = f(x) \) の形を陽関数表示，\( f(x, y) = 0 \) の形を陰関数表示という．

陽関数にして微分すると面倒になる場合，陰関数のまま両辺を \( x \) で微分する．

このとき，合成関数の微分法が必要になる．

\( y \) は \( x \) の関数だが、見かけ上\( x \)の式ではないので直接\( x \)で微分できない。 そこで、一旦 \( y \) で微分し、つじつま合わせに \( y' \) を掛ける。例えば\(2y^2\)の項に注目すると， \[ \dfrac{d(2y^2)}{dx} = \dfrac{d(2y^2)}{d\class{mathkuu}{\underline{\hspace{-2mm}y\hspace{-2mm}}}} \cdot \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{dy}{dx}}} = \class{mathkuu}{\underline{4y y'}} \quad \text{（合成関数の微分法）} \] より，与式の両辺を \( x \) で微分すると \[ \class{mathkuu}{\underline{2x - \left\{(x)'y + xy'\right\} + 4y y'}} = 0 \]
よって \((x - 4y)y' = 2x - y\) より \[ \dfrac{dy}{dx} = \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{2x - y}{x - 4y}}} \] ※ \(y\) は \(x\) の関数なので、\(xy\) を \(x\) で微分するとき、積の微分法の扱いで計算しなければならない。

※陰関数の微分法では、問題で \( x \) のみと指示されない限り、\( y \) を使って答えてもよいのが慣例。

\( x = f(t), \quad y = g(t) \) のとき \[ \dfrac{dy}{dx} = \class{mathkuu}{\underline{\cfrac{\cfrac{dy}{dt}}{\cfrac{dx}{dt}}}} = \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{g'(t)}{f'(t)}}} \] 少し難しいが，以下が2階微分ver.　合成関数の微分法で，一旦\(t\)で微分している。 \[\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)\dfrac{1}{\dfrac{dx}{dt}}\left( =\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{g'(t)}{f'(t)}\right)\dfrac{1}{f'(t)}\right)\] \(\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{\dfrac{d^2y}{dt^2}}{\dfrac{d^2x}{dt^2}}=\dfrac{g''(t)}{f''(t)}\)はよくある間違い！

\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} が \frac{0}{0} または \frac{\infty}{\infty} の不定形のとき，下式の右辺が存在すれば， \] \[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \class{mathkuu}{\underline{\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}}} \] が成り立つ。（ただし，\(f(x),\ g(x)\)は\(a\)を含む区間で微分可能。）ざっくり言えば，

「 \(\frac{0}{0}\) または \(\frac{\infty}{\infty}\) 不定形の極限は，分母分子それぞれ微分しても極限の値が変わらない」

という定理。多くの問題で威力を発揮する検算テクニックだが，循環論法の可能性をはらんだりと厳密に利用するのは難しいので，記述式答案で用いるべきではない。あくまでも検算で用いよう。

曲線 \(y=f(x)\) 上の点 \((a, f(a))\) における接線の方程式は, \[\class{mathkuu}{\underline{y-f(a)}}=\class{mathkuu}{\underline{f^{\prime}(a)(x-a)}}\]

「曲線\(y=f(x)\)上にない定点を通る接線」ときたら\(\cdots\cdots\)

一つの直線を2通りで表せたとき，すなわち，「\(ax+by+c=0\)と\(a'x+b'y+c'=0\)が一致する」という状況になったとき，\(a=a',\ b=b',\ c=c'\)のように係数比較するのは危険。

（反例：\(3x+5y+7=0\)と\(6x+10y+14=0\)は同じ直線を表す方程式）正確には，\(a：a'=b：b'=c：c'\)である。なお，2つとも\(y=\)の形であれば，\(y\)の係数が1と固定されているので，係数の比が等しい，すなわち係数が等しいとしてよい。

(cf. EX「直線・曲線を数式で扱う」の2直線の一致に関する注意点)

・接点を \( (t, f(t)) \) とおいて、接線を数式化。

基本（接点 \( t \) の個数） = （接線の本数） であるので、 \( t \) についての方程式の解の個数を調べる！

※4次関数以上だと，接点の数と接線の本数が1：1に対応しなくなるので注意！

【図形的な意味】 曲線 \( y = f(x) \) 上に任意の2点 A\((a, f(a))\), B\((b, f(b))\) をとると、線分 AB と平行な接線が引けるような点 C が、2点 A, B 間の曲線上にある。

※この点 C は1つとは限らない。※定理の左辺は「平均変化率」であることも思い出しておこう。

平均変化率\(\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\)や，\(f(b) - f(a)\)のような形を含む不等式，極限ときたら・・・

\(\Longrightarrow\)平均値の定理利用を疑え！（特に極限のときは，微分係数の定義利用も忘れない！）

関数\(f(x)\)は閉区間 \([a, b]\) で連続で，開区間 \((a, b)\) で微分可能であるとき， 1. 開区間 \((a, b)\) で常に \( f'(x) > 0 \) ならば、 \( f(x) \)は閉区間\(\class{mathkuu}{\underline{ [a, b]}}\) で単調増加 2. 開区間 \((a, b)\) で常に \( f'(x) < 0 \) ならば、 \( f(x) \) は閉区間 \(\class{mathkuu}{\underline{[a, b]}}\) で単調減少 3. 開区間 \((a, b)\) で常に \( f'(x) = 0 \) ならば、 \( f(x) \) は閉区間 \(\class{mathkuu}{\underline{[a, b]}}\) で定数

関数\(f(x)\)は\(x=\alpha\)で微分可能であるとする。

「\(f(x)\)が\(x=\alpha\)で極値をとる\(\implies\)\(f^\prime (\alpha)=0\)」であるが、この逆は常に成り立つとは限らない。
つまり、「\(f^\prime (\alpha)=0\)」であることは、「\(f(x)\)が\(x=\alpha\)で極値をとる」ための必要条件であるが、十分条件ではない。
（\(x=\alpha\)の前後で符号が変わること（十分性）を確認しなければならない。 ex.) \(y=x^3\)

関数 \( f(x) \) は第2次導関数 \( f^{\prime \prime}(x) \) をもつとする。

\( f''(x) > 0 \) である区間では、曲線 \( y = f(x) \) は下に凸であり、

\( f''(x) < 0 \) である区間では、曲線 \( y = f(x) \) は上に凸である。

また，

・\( f''(a) = 0 \) のとき、\( x = a \) の前後で \( f''(x) \) の符号が変わるとき，

点 \( (a, f(a)) \) は曲線 \( y = f(x) \) の変曲点である。

※つまり，下に凸と上に凸の切り替わりの点を変曲点という。

・\(f''(a) = 0 は点 P(a, f(a))\)が変曲点であるための必要条件である。

①\(x\)軸に平行・垂直な漸近線の求め方

関数 \( f(x) \) において \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = a \quad または \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = a \] が成り立つとき、直線\(\class{mathkuu}{\underline{y = a}}\) は曲線 \( y = f(x) \) の漸近線である。また、 \[ \lim_{x \to b+0} f(x) = \infty, \quad \lim_{x \to b+0} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to b-0} f(x) = \infty, \quad \lim_{x \to b-0} f(x) = -\infty \] のいずれかが成り立つとき、直線\(\class{mathkuu}{\underline{x = b}}\) は曲線 \( y = f(x) \) の漸近線である。

②【応用】斜めの漸近線の求め方

関数 \( f(x) \) において \[ \lim_{x \to \class{mathkuu}{\underline{\infty}}} \{ \class{mathkuu}{\underline{f(x) - (ax + b)}} \} = \class{mathkuu}{\underline{0}} \quad または \quad \lim_{x \to \class{mathkuu}{\underline{-\infty}}} \{ \class{mathkuu}{\underline{f(x) - (ax + b)}} \} = \class{mathkuu}{\underline{0}} \] が成り立つとき、直線 \( y = ax + b \) は曲線 \( y = f(x) \) の漸近線である。

※要は，端っこにいけばいくほど\(y=f(x)とy=ax+b\)の差は小さくなり，ほぼ同じになる。

1. 定義域（と値域）
2. 各軸との切片（求めやすいところだけでOK）
3. \(x\)軸と平行な漸近線，★定義域が途切れるところでは\(y\)軸に平行な漸近線があるか確認
4. ★斜めの漸近線
5. ★対称性（特に偶関数や奇関数）と周期性

\( x = a \) を含むある区間で \( f''(x) \) は連続であるとする。

1. \( f'(a) = 0 \) かつ \( f''(a) < 0 \) ならば、\( f(a) \) は極大値である。

2. \( f'(a) = 0 \) かつ \( f''(a) > 0 \) ならば、\( f(a) \) は極小値である。 ※例えば1では，\( f''(a) < 0 \) より\( f'(x) \)は\(x=a\)の近辺で単調減少で， \( f'(a) = 0 \) より，\( f'(x) \)は\(x=a\)の前後でプラスからマイナスに切り替わる。よって増減表を書けばわかりやすいが，\( f(a) \) は極大値であると確定する。

要約すると，極大か極小かの判断は\( f'(a) = 0 \) かつ \( f''(a)\) の正負のみでできるよという定理。

\(x\to \infty\)のとき，下図において，右の関数ほど発散するスピードが速い。 \[\class{mathkuu}{\underline{\log_a x}} \quad <\quad \class{mathkuu}{\underline{x^r}} \quad <\quad \class{mathkuu}{\underline{a^x}}\quad <\quad x!\quad <\quad x^x\] 少なくとも，（対数）\(<\)（累乗）\(<\)（指数）のイメージはグラフも想像しながら認識しておこう！例として不定形だが0に収束することがよく用いられる3つを挙げる。

例： \[\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{e^x}=0，\qquad \lim_{x\to\infty}\dfrac{\log x}{x}=0，\qquad \lim_{x\to +0}x\log x=0\] （3つ目は，2つ目の式で\(x\)を\(\dfrac{1}{x}\)に置きかえたもの）

数直線上を運動する点 P の時刻 \( t \) における位置を \(x(t)\) とすると、速度 \( v(t) \)、加速度 \( a(t) \) は \[ v(t) = \class{mathkuu}{\underline{x'(t)}} \left(=\dfrac{dx(t)}{dt} \right), \qquad a(t) =v'(t)= \class{mathkuu}{\underline{x''(t)}} \left( = \dfrac{dv(t)}{dt}= \dfrac{d^2x(t)}{dt^2}\right) \] 座標平面上を運動する点Pの時刻\( t \)における位置が\((x(t), y(t))\)であるとき、点Pの時刻\( t \)における速度 \( \vec{v} \)、速さ \( |\vec{v}| \)、加速度 \( \vec{a} \)、加速度の大きさ \( |\vec{a}| \) は ※数直線上の運動における式は，平面（or空間）において\(y\)成分（or \(y,z\)成分）がないだけと認識。
※位置\([m(\cdot s^0)]\)を時間\([s]\)で微分するので，速度の単位は\(s\)が1次減った\([m\cdot s^{-1}]\)，加速度はさらに1次減った\([m\cdot s^{-2}]\)であることも意識しておこう。また，等加速度運動の公式などにでてくる初期条件\(v_0\)，\(x_0\)などは，加速度の式を積分した際にでてくる積分定数とみることもできる。これは，積分方程式の問題を解く際，積分定数を確定させるために必要な条件を初期条件と呼んだことなどともリンクしているので，ぜひいろいろと考察してみてください。

1次近似では，曲線 \( y = f(x) \) の \( x = a \) の近くを、点 \( (a, f(a)) \) における接線で近似する。

\( f(x) \) は 2 次以上の多項式、\( c \) は実数とする。\( f(x) \) が\((x-c)^2\)で割り切れる，すなわち

方程式の実数解は，\(y=\)(左辺)と\(y=\)(右辺)のグラフの共有点の\(x\)座標として読みかえられる。

• \(f(x)=0\) の実数解 \(\iff\) 曲線 \(y=f(x)\) と直線 \(y=0\)（\(x\)軸）の共有点の\(x\)座標
• \(f(x)=k\) の実数解 \(\iff\) 曲線 \(y=f(x)\) と直線 \(y=k\)の共有点の\(x\)座標 （定数分離）
• \(f(x)=ax\) の実数解 \(\iff\) 曲線 \(y=f(x)\) と直線 \(y=ax\)の共有点の\(x\)座標 （直線分離）

一般的にまとめると，\(f(x)=g(x)\) の実数解 \(\iff\) \(2\)曲線 \(y=f(x)\) と \(y=g(x)\) の共有点の\(x\)座標。

• ① 一方の曲線は固定したまま，もう一方の直線を動かして交点の変化を追う
  → 定数分離／直線分離
• ② \(\sin\)と\(\log\)など，異なる関数を左辺と右辺に分ける

等式\(大\geqq 小\)の証明ときたら・・・
→原則：\(大-小\geqq 0\)を示す！
方針立てのテクニックは・・・

1. まずは因数分解を考える。(積の形を作る)
2. 2乗の和を作る。（平方完成）(\((実数)^2\geqq 0\)利用)
3. 関数と見て、最小値\(\geqq 0\)を示す。（その際グラフは比べやすいグラフで比べる）
4. 有名不等式利用(\((実数)^2\geqq 0\)，相加相乗、コーシー・シュワルツ、三角不等式 etc...)
   ※他にも，整数や数列など自然数\(n\)に関する不等式では代入して実験，帰納法なども。

具体例は 数学ⅡBC「不等式の証明」 に(i)〜(iv)それぞれ載せている。

まず変数の個数に注目する。変数が2個以上あるなら，まずは置換・消去で1変数関数化を目指す（特に「簡単な等式」があるときは，それを使って真っ先に1文字消去を狙う）。

【1変数関数のとき】方針の候補は主に次の3つ。

① グラフ利用（直線・2次関数・微分など。順像法）。

② 有名不等式利用（\((実数)^2\geqq 0\)，相加相乗）。分数関数の最大最小や，逆数の和\(x+\dfrac{a}{x}\)（\(a\)は正の定数）の最小値ときたら，まず相加相乗を疑う。できなければ③へ。

③ \(=k\)とおいて存在条件を考える（逆像法）。（判別式が定番）

【多変数関数のとき】置換・消去で1変数化が難しければ，

④ 予選決勝法（文字固定）。独立な2変数なら，片方の文字を定数だと思ってもう一方だけを動かす。

②\('\) 有名不等式利用（②に加え，コーシー・シュワルツ，三角不等式）。

③\('\) \(=k\)とおいて存在条件を考える（逆像法）。（判別式や，図示できれば線形計画法など） ※例えば2変数関数などでも，空間座標で直線や平面などを描くことで①のグラフ利用（順像法）も考えられるが，描ける図が限られているため今回は除いている。

図形量（長さ・面積・体積・角など）の最大・最小は，次の2つの解法が軸になる。

① まずは幾何！：図形そのものを動かし，最大（最小）になりそうな状況を視覚的にとらえる。

② 代数的解法：動く量に文字を置き（変域チェックを忘れずに），求めたい図形量を数式で表す。あとは関数の最大最小問題に帰着させる。文字を置くときは，数式化しやすいところを変数に選ぶのがコツ。