関数

以下の関数のグラフは，関数\(y=f(x)\)のグラフを，

1. \(y-q=f(x-p)\)：\(x\)軸方向に\(p\)，\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動
2. \(-y=f(x)\: (y=-f(x))\)： \(x\)軸に関して対称移動
3. \(y=f(-x)：\ \)\(y\)軸に関して対称移動
4. \((y=-f(-x))：\ \)原点に関して対称移動

したグラフである。

また，関数\(y=f(x)\)が以下の条件を満たすとき，グラフは次の対称性をもつ。

1. \(f(-x)=f(x)\)： \(y\)軸に関して対称  (偶関数)
2. \(-f(-x)=f(x)：\ \)原点に関して対称  (奇関数)

（※\(x\)軸対称は，陰関数表示で\(f(x,-y)=f(x,y)\)とすれば表せるが上記の形がわかりやすいと思うので割愛）

分数関数\(y=\dfrac{k}{x-p}+q\) (\(k\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0\))のグラフは，関数\(y=\dfrac{k}{x}\)のグラフを

\(x\)軸方向に\(\class{mathkuu}{\underline{p}}\)，\(y\)軸方向に\(\class{mathkuu}{\underline{q}}\)だけ平行移動した直角双曲線 漸近線：2直線\(x=p\)，\(y=q\)である。

定義域：\(x\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} p\)，値域：\(y\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} q\)

※\(k\)の正負によって，グラフの位置（漸近線に対してどちらの斜めのペアか）が変わる。

分数関数\(y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\) (\(c\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0\))ときたら，\(y=\)\(\dfrac{k}{x-●}+▲\)の形に変形せよ！

式処理のコツは，(分母の次数) \(>\) (分子の次数)になるように割ること！

分数関数，\(\tan\)など，漸近線を持つグラフは，漸近線から描くとよい！

分母をはらうときは同値性が崩れないか，逆が成り立つか注意しよう。（以下の文字はすべて実数）

1. \[\dfrac{y-2}{x-1}=0\] \(\iff y-2=0\)かつ\(x\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 1\)
2. \[\dfrac{2}{x-1}=x\] \[\iff 2=x(x-1)\]
3. \[\dfrac{A}{B}> 0\] \(\iff AB> 0\ (<\)の場合も同様\()\)
4. \[\dfrac{A}{B}\geqq 0\] \(\iff AB\geqq 0\) かつ\(B\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0\ (\leqq\) の場合も同様\()\)

※②において，式変形後の式に\(x\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 1\)は必要ない。1を入れても成り立たないからである（\(x\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 1\)の意味合いが含まれている）。また，③や④は，\(B^2(\geqq 0)\)を両辺に掛ける，と説明されることがあるが，単にAとBが同符号なのか異符号なのかを考えれば済む話である。

※難しければ分母をはらってひとまず必要条件で進めておき，十分性を確認する。

※個人的には，「同値」をマスターすることが高校数学の最終目標だと思っています。旺文社の本「記述式答案の書き方」，東進ブックスの「数学の真髄」，koga masakiさんのyoutube再生リスト「同値を制する者，受験数学を制す」あたりは最高の教材です。これらをマスターすれば，胸を張って数強と言えるでしょう。

根号内に文字を含む式を無理式といい，根号内に\(x\)を含む関数を\(x\)の無理関数という。無理関数の定義域は，根号内が0以上になる実数全体である。

無理関数\(y=\sqrt{ax}\) (\(a\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0\))のグラフは，\(a\)の正負によって下図のようになる。 関数\(y=\sqrt{-x}\)のグラフ：放物線\(y^{2}=-x\)の\(y\geqq 0\)の部分

関数\(y=-\sqrt{-x}\)のグラフ：放物線\(y^{2}=-x\)の\(y\leqq 0\)の部分

無理関数\(y=\sqrt{a(x-p)}\) (\(a\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0\))のグラフは，

関数\(y=\sqrt{ax}\)のグラフを\(x\)軸方向に\(\class{mathkuu}{\underline{p}}\)だけ平行移動したもの

無理関数\(y=\sqrt{ax+b}+c=\sqrt{a\left( \class{mathkuu}{\underline{x+\dfrac{b}{a}}}\right)}+c\) (\(a\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0\))のグラフは，

関数\(y=\sqrt{ax}\)のグラフを\(x\)軸方向に\(\class{mathkuu}{\underline{-\dfrac{b}{a}}}\)，\(y\)軸方向に\(\class{mathkuu}{\underline{c}}\)だけ平行移動したもの

両辺を2乗するときも同値性には注意が必要。例えば，\(x=1\)の両辺を2乗した\(x^2=1\)は，\(x=-1\)も含んでしまう。

以下\(x,\ y\)は実数，\(x\geqq 0\)とする。

1. \[y=\sqrt{x}\] \(\iff y^2=x\)かつ\(y\geqq 0\)
2. \[y=\sqrt{x}\] \(\cancel{\iff} y^2=x\)かつ\(x\geqq 0\) この間違いをする人が多い。\(y^2=x\)の式に「\(x\)が0以上である」という意味合いは含まれているので，改めて加える必要がない。
3. \(x\)も\(y\)も0以上なら， \[y=\sqrt{x}\] \[\iff y^2=x\]
4. \[y>\sqrt{x}\] \(\iff y^2>x\)かつ\(y>0\)
5. \[y<\sqrt{x}\] \(\iff y^2<x\)または\(y{\color{red}{<}}0\) ※\(y<0\)のときはそもそも必ず\(y<\sqrt{x}\)成り立つ。

※特に④，⑤は意味で理解しようとするとなかなか難しい。他のもの含め上記の式たちを\(y=\sqrt{x}\)，\(y^2=x\)のグラフと不等式の領域を併せて図示し，視覚的に考えてみよう。

関数（函数）とは，定義域内のものを一つ函（ハコ）に入れると，ハコの中で2乗されたり足し引きされたりと，\(f\)で定められた通りに加工をされて，何か別の値が出力されるものである。そして出てくる値の取りうる範囲が値域である。

関数は時折自販機に例えられる。一般的な自販機のルールは，

1. 1つのボタンを押して，複数のドリンクが出てくるようなことはあってはならない。

2. 欲しいドリンクが出てくるボタンは複数あってもよい。

これを関数に置き換えると，

1. 定義域内の1つの値\(x\)を入力（押せるボタンの中から一つ選ぶ）すると，出てくる値\(y\)は1つでなくてはならない。（1対多：×）

2. 同じ\(y\)という値がでてくるような\(x\)は複数あってもよい。（1対1，多対1：◯）

2次関数で考えると分かりやすい。関数\(y=x^2\)において，\(y=4\)となる\(x\)は，\(2\)と\(-2\)の2つあるが，関数と呼んできた。逆に，\(x=y^2\)のように，1対多のものを\(x\)の関数と言うことは間違いである。（もちろん\(x\)は\(y\)の関数であるというのは正解。）

円や楕円など，陰関数表示\(f(x,\ y)=0\)という言い方もするので勘違いしやすいが，一般的に，円\(x^2+y^2-1=0\)を円関数とは呼ばない。

STEP1. 関数\(y=f(x)\)を\(x\)について解き，\(x=g(y)\)の形にする。

STEP2. 変数\(x\)と\(y\)を入れ換え，\(\class{mathkuu}{\underline{y=g(x)}}\ (=f^{-1}(x))\)とする。

STEP3. 逆関数\(=f^{-1}(x)\)の定義域(と値域)は，元の関数\(f(x)\)の値域(と定義域)と同じとなる（入れ換わる）。

逆関数の定義から，次のことが成り立つ。 \[b=f(a) \iff a=f^{-1}(\class{mathkuu}{\underline{b}})\] また，関数\(y=f(x)\)のグラフと関数\(y=f^{-1}(x)\)のグラフは，直線\(y=x\)に関して対称。

対数の定義 \(y=a^x \iff \class{mathkuu}{\underline{x=\log_a y}}\)（\(a>\)\(0\) かつ \(a\)\(\mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 1\)）より， 指数関数\(y=a^x\)と対数関数\(y=\class{mathkuu}{\underline{\log_a x}}\)は，逆関数の関係性にある。 したがって，\(y=a^x\)のグラフと\(y=\log_a x\)のグラフは，直線\(y=x\)に関して対称。

結論から言えば，

逆関数が存在する\(\iff\) 関数\(y=f(x)\)は単調増加または単調減少 である。なぜこうなるかというと先述のポイントの通り，関数(1対1または多対1のみ)のうち，入出力を入れ替えた逆も関数であるためには，元の関数が1対1でないといけないから。

例題 次の\(x\)の関数のうち，逆関数が存在するのはどちらか。

① \(y=x^2\)　　② \(y=\sqrt{x}\)

解 ②

cf.) 「あみだくじ」は「1対1の関数」であり，あみだくじを逆向きにたどることが逆関数の動きを表す。同じあみだくしを逆さにくっつけると，

後述の\((f^{-1}\circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=x\)が成り立つことが直感的に理解できる。

\(y=g(u)\)，\(u=f(x)\)として，\(y=g(u)\)に\(u=f(x)\)を代入すると，\(y=g(f(x))\)が得られ，\(y\)は\(x\)の関数となる。\(g(f(x))\)を，\(f(x)\)と\(g(x)\)の合成関数といい，\(\class{mathkuu}{\underline{(g\circ f)(x)}}\)とも表す。

ただし，この合成関数\(g(f(x))\)が存在するのは，\(f(x)\)の値域が\(g(x)\)の定義域に含まれているときである。

※注：一般に，\((g\circ f)(x)\)と\((f\circ g)(x)\)は一致しない。(一致するorしない)

関数\(f\)と，その逆関数\(f^{-1}\)について次のことが成り立つ。 \[(f\circ f^{-1})(x)=(f^{-1}\circ f)(x)=\class{mathkuu}{\underline{x}}\] cf.) 「あみだくじ」は「1対1の関数」であり，あみだくじを逆向きにたどることが逆関数の動きを表す。同じあみだくしを逆さにくっつけると，\((f^{-1}\circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=x\)であることが直感的に理解できる。