複素数平面

【積】 \[z_1 z_2 = \class{mathkuu}{\underline{r_1 r_2 \{ \cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2) \}}}\] ※「絶対値の積，偏角の和」 \[|z_1 z_2| = |z_1|\,|z_2|\] \[\arg z_1 z_2 = \arg z_1\class{mathkuu}{\underline{+}} \arg z_2\]

【商】 \[\dfrac{z_1}{z_2} = \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{r_1}{r_2} \{ \cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2) \}}}\] ※「絶対値の商，偏角の差」 \[\left| \dfrac{z_1}{z_2} \right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}\] \[\arg \dfrac{z_1}{z_2} = \arg z_1 \class{mathkuu}{\underline{-}} \arg z_2\]

特に，\(i\)を掛けると・・・

\( i = \cos \class{mathkuu}{\underline{\frac{\pi}{2}}} + i \sin \class{mathkuu}{\underline{\frac{\pi}{2}}} \) であるから，
複素数 \( iz \) の表す点は，点 \( z \) を原点を中心として \( \frac{\pi}{2} \) だけ回転した点である。

一般に，

複素数 \( z \) と複素数 \( \alpha = r(\cos\theta + i\sin\theta) \) において，

• ① 積 \( \alpha z \) は，点 \( z \) を原点Oを中心として角 \( \theta \) だけ回転し，Oからの距離を \( \class{mathkuu}{\underline{r}} \) 倍した点を表す。
• ② 商 \( \dfrac{z}{\alpha} \) は，点 \( z \) を原点Oを中心として角 \( -\theta \) だけ回転し，O からの距離を \( \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{r}}} \) 倍した点を表す。

右の図のように，点 \( \alpha \) が原点 O に移るように平行移動すると，この平行移動によって， 点 \( \beta \) は点 \( \beta - \alpha \) に，点 \( \gamma \) は点 \( \gamma - \alpha \) に移る。

点 \( \gamma - \alpha \) は点 \( \beta - \alpha \) を原点 Oを中心として角 \( \theta \) だけ回転したものであるから，次のことがいえる。

点 \( \beta \) を点 \( \alpha \) を中心として角 \( \theta \) だけ回転した点を \( \gamma \) とすると， \[ \class{mathkuu}{\underline{\gamma - \alpha}} = \class{mathkuu}{\underline{(\cos \theta + i \sin \theta)(\beta - \alpha)}} \]

図のように \( \alpha \) を定めると (\( \alpha = z_1 \) と定めると)、 \( z^n = 1 \) の解(1の\( n \)乗根)は、 \[ 1, \alpha, \alpha^2, \dots, \alpha^{n-1} \] の \( n \) 個 である (\( z_k = \alpha^k \))。 また、\( 1 - \alpha^n \) を因数分解して、 \[ 1 - \alpha^n = (1 - \alpha) (1 + \alpha + \alpha^2 + \dots + \alpha^{n-1}) \] が \( 0 \) であることから \[ 1 + \alpha + \alpha^2 + \dots + \alpha^{n-1} = 0 \] が成り立つ。これは、上図で正 \( n \) 角形の重心が原点であることからも分かる。

\([\)複素数\(]\) \[\gamma = \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{n\alpha + m\beta}{m+n}}}\] \[\delta = \class{mathkuu}{\underline{\dfrac{-n\alpha + m\beta}{m-n}}}\]

\([\)ベクトル\(]\) \[\overrightarrow{OC} = \dfrac{n\overrightarrow{OA} + m\overrightarrow{OB}}{m+n}\] \[\overrightarrow{OD} = \dfrac{-n\overrightarrow{OA} + m\overrightarrow{OB}}{m-n}\]

\(【\)異なる3点\(\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}\)が同一直線上\(】\) \[\mathrm{AB}\mathbin{/\mkern-5mu/} \mathrm{AC}\] \[\iff 偏角が\class{mathkuu}{\underline{0または\pi}}\] \(\iff\arg\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}}}=0\)または\(\pi\) \(\iff\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}}}\)が実数 \(【\)異なる3点\(\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}\)について，\(\mathrm{AB}\perp \mathrm{AC}】\) \[\iff AB\perp AC\] \(\iff\) 偏角が\(\class{mathkuu}{\underline{\pm\dfrac{\pi}{2}}}\) \[\iff\arg\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}}}=\pm\dfrac{\pi}{2}\] \(\iff\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}}}\)が純虚数

点Aを通り\( \overrightarrow{l} \)に平行な直線は，\(t\)を実数として，

\(2\)点\(A(\alpha ),\ B(\beta )\) の垂直二等分線 \[\Longleftrightarrow \mathrm{AP} = \mathrm{BP} \] \[\Longleftrightarrow \class{mathkuu}{\underline{|z - \alpha |}} = \class{mathkuu}{\underline{|z - \beta |}}\]

平面上で，2定点 \( A, B \) に対して \( AP : BP = m : n \)（\( m + n \mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 0 \)）を満たす点 \( P \) の軌跡は，\( AB \) を \( m:n \) に内分，外分する点を \( C, D \) と直径の両端とする円である。 特に，2点 \(\alpha, \beta\) までの距離の比が \(k:1 \quad (k \mathrel{\bcancel{\mkern-8mu=\mkern-8mu}} 1, k > 0)\) となる点 \(z\) の軌跡 \[ |z - \alpha| = k |z - \beta| \] は、2点 \(\alpha, \beta\) を \(k:1\) に内分する点と外分する点を直径の両端とする円（アポロニウスの円）を動く。