1. 数と式

\[\begin{aligned} (a+b)^2&=\class{mathkuu}{\underline{a^2+2 a b+b^2}}\\ (a-b)^2&=\class{mathkuu}{\underline{a^2-2 a b+b^2}}\\ (a+b)(a-b)&=\class{mathkuu}{\underline{a^2-b^2}}\qquad\qquad (和と差の積は2乗の差)\\ (x + a)(x + b) &= \class{mathkuu}{\underline{x^2 + (a + b)x + ab}}\\ (ax + b)(cx + d) &= \class{mathkuu}{\underline{acx^2 + (ad + bc)x + bd}}\\ (a+b+c)^2&=\class{mathkuu}{\underline{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}}\\ (a+b)^3&=\class{mathkuu}{\underline{a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3}}\\ (a-b)^3&=\class{mathkuu}{\underline{a^3-3 a^2 b+3 a b^2-b^3}}\\ (a+b)\left(a^2-a b+b^2\right)&=\class{mathkuu}{\underline{a^3+b^3}}\\ (a-b)\left(a^2+a b+b^2\right)&=\class{mathkuu}{\underline{a^3-b^3}}\\ \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} a^2+2 a b+b^2&=\class{mathkuu}{\underline{(a+b)^2}}\\ a^2-2 a b+b^2&=\class{mathkuu}{\underline{(a-b)^2}}\\ a^2-b^2&=\class{mathkuu}{\underline{(a+b)(a-b)}}\qquad (和と差の積は2乗の差)\\ x^2+(a+b) x+ab&=\class{mathkuu}{\underline{(x+a)(x+b)}}\\ acx^2 + (ad + bc)x + bd&=\class{mathkuu}{\underline{(ax + b)(cx + d)}}\quad (たすき掛け) \\ a^3+b^3&=\class{mathkuu}{\underline{(a+b)\left(a^2-a b+b^2\right)}}\\ a^3-b^3&=\class{mathkuu}{\underline{(a-b)\left(a^2+a b+b^2\right)}}\\ 【発展】　　　x^3+y^3+z^3-3xyz&=\class{mathkuu}{\underline{(x+y+z)({\color{blue}{x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx}})}}\\ {\color{blue}{x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx}}&=\class{mathkuu}{\underline{\dfrac{1}{2} \left \{ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \right \}}}\\ \end{aligned}\]

STEP.1 共通因数でくくる
STEP.2 似た形は置き換える
STEP.3 最低次数の文字で整理するor登場回数の少ない文字
ex.)
\[x^2+xy+x+2y-2=\class{mathkuu}{\underline{(x+2)(x-1)+y(x+2)}}=\class{mathkuu}{\underline{(x+2)(x+y-1)}}\]（\(y\)の次数が最低・登場回数も最少）
他にも、2乗の差が作れないかなど確認する。（複2次式）
ex.)
\[x^4+x^2+1=\class{mathkuu}{\underline{(x^2+1)^2-x^2}}=\class{mathkuu}{\underline{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}}\]

\(x,\ y\)の式で，\(x\)と\(y\)を入れかえても同じ式になるものを対称式という。対称式ときたら・・・

ex.) \[x^2+y^2=(x+y)^2-2xy,\quad x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) \:\mathrm{or} =(x+y)^3-3xy(x+y)\] ※3変数\(x, y, z\)の場合は、基本対称式\(x+y+z, xy+yz+zx, xyz\)で表す！

相反式ときたら・・・\(x+\dfrac{1}{x}\)のかたまりで表せ！↓ 例 \[x^2+\dfrac{1}{x^2}=\class{mathkuu}{\underline{\left( x+\dfrac{1}{x}\right)^2}}-\class{mathkuu}{\underline{2}},\ x^3+\dfrac{1}{x^3}=\class{mathkuu}{\underline{\left( x+\dfrac{1}{x}\right)^3}}-\class{mathkuu}{\underline{3\cdot \bcancel{x}\cdot \bcancel{\dfrac{1}{x}}\left( x+\dfrac{1}{x}\right)}}\] また、\(x^{\frac{1}{2}}+x^{-{\frac{1}{2}}}\)や\(x^{\frac{1}{2}}-x^{-{\frac{1}{2}}}\)は、2乗すると、\(x+\dfrac{1}{x}+2\)や\(x+\dfrac{1}{x}-2\)となるのもよく使う。

※無理数のことを「有理数でない実数」と認識するのは正しいが，「循環しない無限小数」とも認識できているだろうか。なぜなら，循環小数は必ず\(\dfrac{整数}{整数}\)の形（＝有理数）に直せるからである。

例）\(x=0.\dot{4}\dot{5}\dot{6}=0.456456456\cdots\)（3桁周期）のとき， \[1000x=456.456456\cdots,\quad 1000x-x=456\ \therefore\ 999x=456\ \therefore\ x=\dfrac{456}{999}\] このように，周期の長さだけ10倍して元の\(x\)との差を取れば循環部分が消え，\(x=\dfrac{整数}{整数}\)の形になる。

ある数を\(\class{mathkuu}{\underline{0}}\)で割ることはできない！ これは，数学を学んでいく上でとても大事かつ，よく出くわすので，常に頭に入れておこう。

\[\begin{aligned} \sqrt{A^2}&=\class{mathkuu}{\underline{\left|A\right|}}\\ &=\begin{cases} \class{mathkuu}{\underline{A}} &(A\geqq 0)\\ \class{mathkuu}{\underline{-A}} &(A<0) \end{cases} \end{aligned}\]

\(a>0,\ b>0\) のとき，
\[\sqrt{a} \sqrt{b} = \class{mathkuu}{\underline{\sqrt{ab}}}，\quad\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \class{mathkuu}{\underline{\sqrt{\dfrac{a}{b}}}}\] よって，次のことがいえる。

1. 絶対値は中身が0で場合分け \[\begin{aligned} \left|A\right| &=\begin{cases} \class{mathkuu}{\underline{A}} &(A\geqq 0)\\ \class{mathkuu}{\underline{-A}} &(A<0) \end{cases} \end{aligned}\]
2. \(C\)が定数のときのみ、以下のように方程式や不等式の解を求めることができる。
   
   \(\cdot \left|x\right|=c\ (c\geqq 0)\)の解は\(x=\pm c\)
   \(\cdot \left|x\right|<c\ (c>0)\)の解は\(-c<x<c\)
   \(\cdot \left|x\right|>c\ (c\geqq 0)\)の解は\(x<-c,c<x\)

※\(c<0\)のときは，\(\left|x\right|=c\)，\(\left|x\right|<c\)は解なし，\(\left|x\right|>c\)はすべての実数が解となる。

※\(\left|x\right|=2x+5\)のように右辺が定数でないときは i)のように場合分けをしよう。

\(a>0,b>0\)のとき、\[\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\class{mathkuu}{\underline{　\sqrt{a}+\sqrt{b}　}}\] \(a>b>0\)のとき、\[\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\class{mathkuu}{\underline{　\sqrt{a}-\sqrt{b}　}}\] ※\(\sqrt{a}\)は、「2乗すると\(a\)になる正の数」であるから、\(\sqrt{b}-\sqrt{a}\)は間違い。

つまり\(b>a>0\)のときは、\(\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\class{mathkuu}{\underline{　\sqrt{b}-\sqrt{a}　}}\)